放物線 点の集合

質問

2つの放物線y=x^2とy=ax^2+bx+cとは二点で交わり、交点におけるこれら2つの放物線の接線は互いに直交するという
a、b、cが変化するとき、このような放物線y=ax^2+bx+cの頂点の全体はどのような集合を作るか

2x*(2ax-1)=-1なのは分かりますが、交点は解の公式を使っても非常に複雑で恐らく使わないので手詰まってます
解き方を教えてください

回答No.4

over_the_galaxy

答はあえて書かずに置きます。軌跡の問題を扱う時にあれ？っと迷いやすい項目です。
気持ちはよく分かりますが、ゆっくり考えて見て下さい。

補足

もしかするとx=0でy=cという直線になるということですか？

回答No.3

over_the_galaxy

私の考えでは頂点のx座標はゼロだったのですが、違っていたようですね。
補足に書かれた頂点のx座標とy座標をよーく見ると、以下の関係にあります。
y=x^2+c
つまり、頂点の座標は上記放物線上の点になる、と言うことです。

補足

つまり軌跡はy=x^2+cということですか？

回答No.2

over_the_galaxy

書き忘れがありました。
2x(2ax+b)=-1
です。

補足

すみません分からないところがあります

頂点が(±√-1/4a,-1/4a + c)なのは分かりましたがこの頂点がどのように変化するかどうすればわかるのでしょうか

回答No.1

over_the_galaxy

両者の交点で直交する図形を描いてみると、2交点両方で直交する条件はかなり限られます。まずa<0つまり逆さまです。それと頂点のx座標は同じ、つまりb=0、この2条件を使うと計算は軽減されると思います。

お礼

わかりました
ありがとうございました