二つの放物線の接点について

質問

二つの放物線
ｙ=ax^2+bx+c と　y=dx^2+ex+f

がx=αとなる点で接するとき

x=αとなる点で接することより、
二次方程式
(ax^2+bx+c)-(dx^2+ex+f)=0
は、x=αを重解にもつから
(ax^2+bx+c)-(dx^2+ex+f)=(a-d)(x-α)^2
と因数分解できるようなのですが、
(a-d)(x-α)^2　のうち、
何故(a-d)が出てくるのかよくわかりませんのでお教えお願いします。

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

(a - d)x^2 + (b - e)x + (c - f) = 0
という2次方程式がx = αという重解を持つ。
このことから、その2次方程式は
t(x - α)^2 = 0という形をしていることがわかる（※）。
なぜなら、
t(x - α)^2 = 0
の両辺をt（ただし、0以外）で割って
(x - α)^2 = 0
x = α
となるからである。

さて、
t(x - α)^2
= t(x^2 - 2αx + α^2)
= tx^2 - 2tαx + t・α^2 = 0
と、元の方程式である
(a - d)x^2 + (b - e)x + (c - f) = 0

とを比べると、
t = a - d
-2tα = b - e
t・α^2 = c - f
であることがわかる。
2個目と3個目はこの際どうでもよく、重要なのは1個目。

t = a - d
であるから、これを上記（※）に代入して、当該の2次方程式は
(a - d)(x - α)^2 = 0
という形をしていることがわかる。

お礼

自分で調べてみたところ、これは同じ理屈だということが分かり理解できました。
お手間とらせまして申し訳ございませんでした
どうもありがとうございました

補足

たいへん詳しくご説明いただきありがとうございました。
おそらくこれで理解力の悪い私でも理解できたとは思うのですが、
何度も質問して申し訳ないのですが、
一応確認のためにお聞きしたいのですが、
このことは、解と係数の関係で出てくる二次式の因数分解のうち
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)と同じ理屈ということでよろしいのでしょうか？

回答No.2

asuncion

(ax^2 + bx + c) - (dx^2 + ex + f)
= ax^2 + bx + c - dx^2 - ex - f
= (a - d)x^2 + (b - e)x + (c - f)
という式の、x^2の係数です。

補足

x^2の係数なら何故

(a-d)(x-α)^2　の因数になるのかわかりませんので、ど素人にわかりやすくご説明お願いいたします

回答No.1

spring135

(ax^2+bx+c)-(dx^2+ex+f)=(a-d)(x-α)^2

両辺を展開すればすぐわかります。