Q(x+y, x^2+y^2)の存在する範囲は？

質問

次の問題の解説をお願いします。

座標平面上で，点P(x, y) が -1≦x≦1, -1≦y≦1 を満たしながら動くとき，点Q(x+y, x^2+y^2)の存在する範囲を図示せよ。

X = x+y, Y = x^2+y^2 と置いて，この後の発想が何ともわからなく，，ご教示お願いいたします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

X = x+y, Y = x^2+y^2

としたならば，XとYが満たす条件を求めるということです．

Y=(x+y)^2 -2xy = X^2 -2xy

xy = (X^2-Y)/2

くらいまではいきませんか？

x＋y = X
xy = (X^2 -Y)/2
-1 <= x <= 1
-1 <= y <= 1

この四式をまとめて(A)としましょう．

さて，ここで発想の逆転．XとYの条件を求めたいのだけど
どんなXとYを与えても，この(A)をみたすxとyが存在すると思いますか？

X=0とかやってみると
x+y = 0
xy = -y^2 = -Y/2
なんだから Y=-10 とかしたらもうアウト．

ということで，X，Yは(A)をみたすようなx,yが存在することが必要十分です．
つまり
ここでさらに考える．
x+y = A
xy = B
という形の連立方程式ってのは
じつは
t^2 -At + B = 0
っていう方程式の解です．

ということで，
t^2 - X t + (X^2-Y)/2 = 0
という方程式が
-1<= t <= 1
の「（重解を含めて）二つの解」を持つ条件を考えればいい．

f(t) = t^2 -X t + (X^2-Y)
とおけば
f(-1)>=0 f(1)>=0
f(X/2) <= 0
-1 <= X/2 <=1
あたりってところかな．

お礼

ご回答ありがとうございます。
そうなんです，，回答文にある，

>さて，ここで発想の逆転．XとYの条件を求めたいのだけど

の考え方が浮かばずに，悩んでいました。
ダメな考え方を一例でも出して頂けると，すんなりと，読めます。

だから，次の発想に行きついたのだと思います。
>t^2 -At + B = 0
でも，よく，このような発想が出てくるものだな――，と感心します。
オリジナルな発想力は，私自身，あきらめますが，
このような，素晴らしいアイディアを数多く学べたらと思います。
ありがとうございます。

回答No.2

info22_

X=x+y,Y=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=X^2-2xy
xy=(X^2-Y)/2
x,yは、解と係数の関係から次の2次方程式の2つの解となります。
　t^2-Xt+(X^2-Y)/2=0
この2つの解がx,yなので
　-1<={X-√(X^2-(X^2-Y)/2)}/2<=1　かつ　　-1<={X+√(X^2-(X^2-Y)/2)}/2<=1
これを整理すれば
　Y<=X^2-2X+2, Y<=X^2+2X+2, Y>=X^2/2 の共通領域
（３つの放物線Y=(X-1)^2+1,Y=(X+1)~2+1,Y=X^2/2で囲まれる領域（境界線を含む））
が求める点Q(X,Y)の存在領域である。

　図は描けるでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
Q（X,Y）の存在領域まで導いていただき，助かります。
図は，描くことができました。