存在範囲

質問

xy平面上、点Ｐ(x,y)が|x-y|＜2を満たして動くとき、点Q(x+y,xy)の存在範囲を求めよ。

これで、|x-y|＜2から、x-2＜y＜x+2と、y≦x^2/4と導いては、なぜいけないのでしょうか。教えてください。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

Q(X,Y)とすると

X=x+y, Y=xyであって、x,yは|x-y|＜2という条件下にあるとき点Q（X,Y)はどの範囲なるかという問題です。

求められているのはQ(x,y)の動きであって、質問者のようにx,yに関する条件を変形して見せたところで回には程遠いと言わざるを得ません。

たとえば帯状の範囲|x-y|＜2から境界を含めて100個ぐらい点を選んできてその点からX=x+y, Y=xyを計算し、Q(X,Y)をプロットしてみるというのが具体的イメージを得るのに最適でしょう。コンピューターが使えれば瞬時にできますが手計算では１晩かかるかもしれません。

それが嫌なら頭を使えというのがこの問題の趣旨です。

|x-y|＜2をいかにしてX,Yで表すかというのが一つのポイントです。

しかしこれは受験生は思いつきます。

|x-y|＜2は両辺を２乗して(x-y)^2＜4と等価なことは心ある受験生は知っています。

(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=X^2-4Y<4

よって

Y>X^2/4-1 (1)

これで安心してはいけません。

実はこの手の問題は過去いやというほど出ていて解き方はみんな同じです。

(1)が出たら何点かということをいろいろ議論したことがありますが正解を１００点とすると１０点だろうというのが大方の意見です。

何が欠けているか。

質問者はy≦x^2/4を導いていることろを見ると少し聞きかじったことがありそうです。

要は(1)の範囲のすべての点が逆にP(x,y)を与えうるかということです。

言い換えると（X,Y)から(x,y)に変換するとx,yは実数になりうるかということです。

要するにx,yを解とする２次方程式が実数解を持つことが必要です。つまり

(t-x)(t-y)=t^2-(x+y)t+xy=t^2-Xt+Y=0

が実根を持つため

X^2-4Y≧0

すなわち

Y≦X^2/4　　　(2)

が必要です。

(1),(2)で挟まれた範囲というのが正解です。

お礼

詳細な解説、ありがとうございます。
とんでもない思い違いをしていたんですね。
必要十分条件の方も全く自信がないので、そこまで書いていただいて大変ありがたいです。
頻出類題だと思うので、この機会にしっかり習熟したいと思います。

回答No.1

alice_44

x-2＜y＜x+2 の x,y は P の x座標y座標、
y≦x^2/4 の x,y は Q の x座標y座標です。
「混ぜるな危険」というやつです。

お礼

そういうことですか...！
ありがとうございます。