最大値の問題

質問

p,qは実数、２つのグラフ　y=e^xとy=log(x-p)+q のグラフがただ一つ共有点をもつとき、2p-qの最大値を求めよ。

次のように考えました。どこが間違っているのかよく分かりません。
ご指摘ください。
共有点のx座標をx=tとする。２つのグラフはx=tで接することから、
(1)・・e^x=1/(t-p) , (2)・・e^x=log(t-p)+q
(1)と(2)から、t^2-(p+q)t+pq+1=0 この解が　t>pに存在するから、
ア・・軸　(p+q)/2<pのとき、解存在しない
イ・・軸　(p+q)/2>pのとき、
判別式=(p+q)^2-4pq-4>=0
よって、pとqの条件をもとめると、q>p+2
この領域で、２ｐ－ｑを求めようと考えましたが、当然最大値は決まりません。どこが間違っているのかよろしくお願いします。

回答No.3

info22_

#1です。

e^t=1/(t-p)…(1)
これから
t-p=e^(-t) …(3)
p=t-e^(-t) …(4)

e^t=log(t-p)+q …(2)
q=e^t-log(t-p)=t+e^t …(5) (∵(3)より）
(4),(5)より
2p-q=t-(e^t)-(e^(-t))(=f(t)とおく）

すべての実数tについて　f(t)の最大値を求めてやればよい。
f(t)の増減表から、t=log((1+√5)/2)のとき
f(t)=2p-qは最大値f(log((1+√5)/2))=log((1+√5)/2)-√5
とることが求まります。

補足

なるほど、媒介変数ですか。
思いつきませんでした。
この解答は簡潔でわかりやすいです。
この解答がベストだと思います。
これが分かってしまえば、私のような解答には
持ち込まないですが、勉強のため、どこが間違っていて、
どう手直しすればよいのか、ご指摘くだされば幸いです。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

「ただ一つ共有点をもつとき」ということと「接する」ということは同地ではないと思うのですが・・・
・接する場合
・ただ 1点でしか交わらないとき
のいずれかになると思います。
「交わるとき」がないということが言えれば、「接する」ときだけで議論を展開してもいいと思います。

補足

考えられるのは接するときのみなので解答のようにしたのですが、
解答のどの部分にあやまりがあるのか、よくわかません。
ご指摘くださればと思います。

回答No.1

info22_

> (1)・・e^x=1/(t-p) , (2)・・e^x=log(t-p)+q
間違い。正しくは
(1)・・e^t=1/(t-p) , (2)・・e^t=log(t-p)+q

> (1)と(2)から、t^2-(p+q)t+pq+1=0
この式はどのようにして導出したのか不明。
導出方法の解説をして下さい。

なので以降の解答のチェックが不可能です。

補足

訂正(1)・・e^t=1/(t-p) , (2)・・e^t=log(t-p)+q
(1)からt-p=e^(-t)
これとe^t=1/(t-p)を(2)に代入して、
1/(t-p)=loge^(-t)+q
=-t+q
よって、(t-p)(-t+q)=1
ゆえに、t^2-(p+q)t+pq+1=0。
よろしくお願いします。