領域の問題が分からないです；

質問

０°≦θ≦３６０°のとき、ｘｙ平面上の直線 ｙ＝２(cosθ)ｘ＋cos２θ－１の通りうる範囲を図示せよ。
という問題です。
1995年の和歌山大の問題だそうです
2倍角の公式で直すまではわかるのですが、そこからが分からないのです；
教えてください。
よろしくおねがいします!

回答No.4

info22 · ベストアンサー

cosθ=tとおくと0°≦θ≦360°から　-1≦t≦1
y=2tx+2t^2-2
tについて整理
2t^2+2xt-2-y=0
t^2+xt-1-(y/2)=0 (-1≦t≦1)
この式をt^2の方程式と見るとき
y=f(t)=t^2+xt-1-(y/2)とおくと
この2次式のグラフが-1≦t≦1でt軸と交点を持てばよい。
y=f(t)={t-(x/2)}^2-1-(y/2)-(x/2)^2
対称軸はt=-(x/2)なのでこれによって場合分けする。

-1≦t=-(x/2)≦1の場合　-2≦x≦2
y=f(t)が -1≦t≦1 の範囲でt軸と交わるための条件から
f(-x/2)=-1-(y/2)-(x/2)^2≦0
かつ
f(1)=x-(y/2)≧0またはf(-1)=-x-(y/2)≧0
まとめると
-2≦x≦2の場合　-2-(1/2)x^2≦y≦|2x|…(A)

t=-(x/2)＜-1またはt=-(x/2)＞1の場合　x＜-2,x＞2
y=f(t)が -1≦t≦1 の範囲でt軸と交わるための条件から
f(1)f(-1)≦0
f(1)f(-1)={x-(y/2)}{-x-(y/2)}≦0
まとめると
x＜-2,x＞2の場合-|2x|≦y≦|2x|…(B)

(A),(B)を合わせたものが答えです。
図示すると添付図のようになる。

もっとも、大学入試の過去問なので受験参考書やその他に解答が載っていると思うが...。

お礼

詳細に書いてくださってありがとうございます!
答えだけは与えられていたのですが、自分の持っている参考書には同じような問題がなかったので途中計算がわかりませんでした；

ありがとうございました!

回答No.5

mister_moonlight

＞【１】の判別式とf(1)とf(-1)を調べると、文字がyも入ってしまうのですが、すべての共通範囲を求めるときにどうすればいいのでしょか？

tの2次方程式：f（t）＝2t＾2＋2xt-y-2＝0 が(1)に少なくても、1つの実数解を持つと良い。
【1】(1)に2つの実数解を持つ時、判別式≧0、f（1）≧0、f（-1）≧0、｜軸｜≦1　が条件。
【2】(1)に1つ実数解を持つ時、f（1）*f（-1）≦0

【1】は、判別式＝x´2＋2y＋4≧0、f（1）＝2x-y≧0、f（-1）＝-2x-y≧0、｜軸｜≦1より、｜x｜≦2。
【2】は、f（1）*f（-1）＝（2x-y）*（-2x-y）≦0

答は出しといたから、図示するのは自分でやって。この程度は、座標の基本的問題だよ。

＞あと【２】の*印って掛け算の意味ですよね？

そうです。

お礼

すいません、勘違いしていて共通範囲求めなきゃいけないと思ってました；
ちゃんと理解しました；；

ありがとうございました!

回答No.3

mister_moonlight

書き込みミス。

（誤）以上、【1】と【2】の共通範囲を求めると良い。
（正）以上、【1】、or、【2】の範囲を求めると良い。

回答No.2

proto

右辺をxの関数としてではなく、t=cos(θ)の関数として見てください。
xを定数だと思って。θが0°から360°まで変化するとき、即ちtが-1から1まで変化するときのyの最大値と最小値を求めてください。

例えばx=0のとき、
　　y = cos(2θ)-1 = 2t^2-2
ですからyの最大値は0、最小値は-2となります。
このことから、直線y=2*cos(θ)*x+cos(2θ)-1の通りうる範囲として、
　　x=0 , -2<y<0
が言える訳です。

もう一つ、例えばx=1のとき、
　　y = 2*cos(θ)+cos(2θ)-1 = 2t^2+2t-2
ですから、yの最大値は1、最小値は-5/4となります。
このことから、直線の通りうる範囲として、
　　x=1 ,　-5/4<y<1
が言える訳です。

このようにして、全てのxについて、yをt=cos(θ)の関数として見たときのyの最大値と最小値を考えれば、直線の通りうる範囲が図示できるはずです。
一般のxについてyの最大最小を考えるためには、おそらくxの値によって簡単な場合分けが必要でしょう。

回答No.1

mister_moonlight

cosθ＝tとすると、-1≦t≦1　‥‥(1)
又、条件式は、y＝2tx＋2t＾2-2　より、tの2次方程式：f（t）＝2t＾2＋2xt-y-2＝0 が(1)に少なくても、1つの実数解を持つと良い。
【1】(1)に2つの実数解を持つ時、判別式≧0、f（1）≧0、f（-1）≧0、｜軸｜≦1　が条件。
【2】(1)に1つ実数解を持つ時、f（1）*f（-1）≦0

以上、【1】と【2】の共通範囲を求めると良い。
実際の計算は、自分でやって。

補足

ありがとうございます!
【１】の判別式とf(1)とf(-1)を調べると、文字がyも入ってしまうのですが、すべての共通範囲を求めるときにどうすればいいのでしょうか？

あと【２】の*印って掛け算の意味ですよね？

よろしくお願いします^^;