領域問題

質問

f:R^2→R^2　
f(x,y)=(x+y,xy)とするときf(D)を求め図示せよ。
(1)D={(x,y) | x^2+y^2<1}
(2)D={(x,y) | x=0 , y=0 , x^2+y^2<1}

これは、x+y=s,xy=tとおいて
x^2+y^2<1
に代入し、st座標上に図示する方法でよろしいのでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.2

fef · ベストアンサー

函数 f の定義域を見ると R^2 となっているので，
与えられた領域 D に関して
D = {(x, y) | x in R, y in R, x^2 + y^2 < 1}
というように x in R, y in R が省略されているとわかります．

確かに
x^2 + y^2 < 1 <=> s^2 - 2 t < 1
なのですが，
この不等式を満たすような (x, y) として虚数を考えることもできるので，
条件 x in R, y in R が本質的に効いてきます．

例えば，(s, t) = (0, 1) は s^2 - 2 t < 1 を満たしていますが，
x + y (= s) = 0, x y (= t) = 1
を満たすような x, y は実数の範囲では存在しませんよね．
ですから，この点は f(D) に入れてはなりません．
このような点を除くための条件が足りないのです．

そこで，x in R, y in R と同値な条件を s, t に関して求めましょう．
s, t とおいた式に注目してください．
この形，どこかで見たことありませんか．

・・・そう，2次方程式の解と係数の関係ですね．
つまり，x, y は実係数2次方程式
z^2 - s z + t = 0
の2解なのです．
したがって，x, y が実数であるための必要十分条件は，
上の2次方程式の判別式 s^2 - 4 t に関して，
s^2 - 4 t >= 0
が成り立つこと．
この条件を忘れてはなりません．

お礼

回答ありがとうございました。
解と係数の関係ですね。

回答No.1

fef

基本的にはそのような方針で解きます．

注意すべきは，変数 x, y が実数値をとらなければならないというところ．
判別式 s^2 - 4 t >= 0 も考える必要がありますね．

お礼

回答ありがとうございました。
f(D)={(x,y)|x^2+y^2<1}
={(s,t)|s^2-2t<1}
={(s,t)|t>(s^2-1)/2}

でよいのですよね。
判別式の s^2 - 4 t >= 0
はどこから来るのでしょうか？

たびたびすいません。