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愚直に求めてみましょう。 y = x^3 - 3 a^2 x + a^2 において、 x = a で y は極小、x = -a で y は極大 a が 0 ＜ a ＜ 1 の範囲で変化するとき、極大点と極小点の間にある (β , y ) における y の値の範囲を考える。 まず、βとaの範囲について整理すると、-a ＜ β ＜ a かつ0 ＜ a ＜ 1 より、 βが取りえる値の範囲は、-1 ＜ β ＜ 1 βを固定したときに、(β, y) が題意を満たすa の範囲は |β| ＜ a ＜ 1 y = (1 - 3β) a^2 + β^3 βを固定して考えると、y は a の 2 次関数。 この 2 次関数の a の定義域を |β| ＜ a ＜ 1 として、 y の値域を求めればよい。 y = g(a) = (1 - 3β) a^2 + β^3 とおくと、 1 - 3β ＞ 0 ⇔ β ＜ 1/3 のとき） y = g(a) は a = 0 を軸とする下に凸な放物線なので、 g(|β|) ＜ y ＜ g(1) ∴ - 2β^3 + β^2 ＜ y ＜ β^3 - 3β + 1 1 - 3β = 0 のとき） β = 1/3 , y = 1 / 27 → a の値に関わらず定点 (1/3, 1/27) を通る 1 - 3β ＜ 0 ⇔ 1/3 ＜ β のとき） y = g(a) は a = 0 を軸とする上に凸な放物線なので、 g(1) ＜ y ＜ g(|β|) ∴ β^3 - 3β + 1 ＜ y ＜ - 2β^3 + β^2 故に求める領域は、 -1 ＜ x ＜ 1/3 のとき -2 x^3 + x^2 ＜ y ＜ x^3 - 3x + 1 x = 1/3のとき ( 1/3 , 1/27) 1/3 ＜ x ＜ 1 のとき x^3 - 3x + 1 ＜ y ＜ -2x^3 + x^2 #1, #2 さん流で求める場合ですが、|x|＜ a の条件をお忘れになってますので（ご愛嬌です）申し訳ないけど勝手に訂正させていただくと、 -1 ＜ x ＜ 1 かつ |x| ＜ a で (1 - 3x) a^2 = y - x^3 1 - 3x = 0 のとき（略） 1 - 3x ≠ 0 のとき a^2 = (y - x^3) / ( 1 - 3x) ここで、（x を固定して考えると、）a の変域は |x| ＜ a ＜ 1 であるから、 x^2 ＜ a^2 ＜ 1 x^2 ＜ (y - x^3) / (1 - 3x) ＜ 1 これを解いて、 1 - 3x ＞ 0 のとき -2x^3 + x^2 ＜ y ＜ x^3 - 3x + 1 1 - 3x ＜ 0 のとき -2x^3 + x^2 ＞ y ＞ x^3 - 3x + 1
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- take_5
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＞#1, #2 さん流で求める場合ですが、|x|＜ a の条件をお忘れになってますので（ご愛嬌です） ご指摘、ありがとうございます。うかつですね。見事に、欠落してます。 ツマンナイ問題だな、つて思いながら解いてました。。。。恥
- take_5
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又、計算ミス。。。。。。笑 ＞これは、3x＞1の時、x＾3＋3x-1＜y＜x^3。3x＜1の時、x^3＜y＜x＾3＋3x-1 ↓ これは、3x＞1の時、x＾3-3x＋1＜y＜x^3。3x＜1の時、x^3＜y＜x＾3-3x＋1 ＞以上から、 ＞1/3＜x＜1の時、x＾3＋3x-1＜y＜x^3。 ＞1/3＝xの時、点（1/3、1/27）。 ＞-1＜x＜1/3（x≠0）の時、x^3＜y＜x＾3＋3x-1。 ↓ 以上から、 1/3＜x＜1の時、x＾3-3x＋1＜y＜x^3。 1/3＝xの時、点（1/3、1/27）。 -1＜x＜1/3（x≠0）の時、x^3＜y＜x＾3-3x＋1。
お礼
ありがとうございました。 通過領域でもとめる方法もあるのかなと思っていましたが わからなかったので、助かりました。
- take_5
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係数aの次数が同じなので、つまらない問題。 f（x）＝x^3-3a^2x+a^2より、f´（x）＝3x^2-3a^2＝3*（x+a）*（x-a）となり、これはa≠0より極値を持つ。 増減表を書くと、x＝aで極小、x＝-aで極大となる。 即ち、曲線：y＝x^3-3a^2x+a^2 ‥‥(1)の｜x｜＜a ‥‥(2)の部分の通過領域を求める事になる。 そのためには、(1)より、（a＾2）*（1-3x）＝y-x^3 ‥‥(3)であり、条件から0＜a＜1であるから、 その条件の下で曲線(3)の動き得る領域を求めると良い。 (3)より ・1-3x＝0の時、0＝y-x^3より 点（1/3、1/27）‥‥(4) ・1-3x≠0の時、a＾2＝（y-x^3 ）/（1-3x）となり、0＜a＜1より、0＜（y-x^3 ）/（1-3x）＜1.‥‥(5) これは、3x＞1の時、x＾3＋3x-1＜y＜x^3。3x＜1の時、x^3＜y＜x＾3＋3x-1 又、(2)より ｜x｜＜a、0＜a＜1であるから、｜x｜＜1、and、x≠0‥‥(6) 以上から、 1/3＜x＜1の時、x＾3＋3x-1＜y＜x^3。 1/3＝xの時、点（1/3、1/27）。 -1＜x＜1/3（x≠0）の時、x^3＜y＜x＾3＋3x-1。
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お礼
ありがとうございました。。よくわかりました。 なぜ、愚直なのかわわかりませんでしたが・・・ 素人は普通と解釈しておきます。。。