領域の変換

質問

(u,v) = (x+y,xy)で定義されるR^2上の変換Ｔの像Ｔ（R^2）がどのような集合であるか以下の手順で調べよ。

(1)(1,-2)はＴ（R^2）に属している
(2)(1,2)はＴ（R^2）に属していない
(3)点(u,v)がT(R^2)に属しているための条件をもとめよ。
(4)(3)をuv平面上で図示せよ
との問題です

(1),(2)の問題は変換の問題？？
(1)は
x + y = 1
x*y = -2
の連立方程式を求めると解をもつので(1,-2)はＴ（R^2）に属している？
(2)も(1)と同じで
x + y = 1
x*y = 2
の連立方程式を求めると解をもたないので(1,2)はＴ（R^2）に属していない？

ということなのでしょうか？

回答No.2

kumipapa

u = x + y
v = xy
を満たす実数 x, y が存在する (u,v) の集合がT(R^2)であり、u-v 空間に示されるべき領域

(u,v) ∈ T(R^2)
⇔　u=x+y, v=xyとなる実数x,yが存在
⇔　x^2 - ux + v = 0 の解が実数である
⇔　u^2-4v ≧ 0

∴　T(R^2) = {(u,v) | v ≦ (u^2)/4 }

＞　u = x + y = a
＞　v = xy = b
＞　⇔ x( a –x )=b
＞　⇔-x^2-ax=b
＞　⇔x^2-ax-b=0
＞　判別式Dとして解をもつときa^2-4b>0であるから
＞　a^2-4b>0
最初に u = x + y = a, v = xy = b と置いたのですから・・・ u = a, v = b ですね。a^2-4b>0 の a, b を u, v に置き換えて u^2 - 4v > 0 ですが、判別式=0で構わない（x=yの場合ですね）ので u^2 - 4v ≧ 0 です。
＞　a^2-4b>0
＞　⇔(x+y)^2-4xy
＞　= x^2-2xy+y^2>0
えっと、またx-y 空間に戻ってしまいました。x^2-2xy-y^2 = (x - y)^2 ≧ 0 という条件は、任意の実数で成立することは勿論ですが、x, y が実数であるための条件でもあります

回答No.1

kumipapa

おっしゃる通りでしょう。

それで、（１）と（２）の例から、t^2-ut+v = 0 が実数解を持つという条件を満たす(u,v)がT(R^2)であることに気付かせようと言う腹でしょう。

x + y = u
xy = v
を連立して解こうとすれば、x^2-ux+v=0 が出てきて、x∈R よりu^2-4v≧0

または、(u,v)∈R^2 について u=x+y, v=xy, (x,y)∈R^2 となるx,yが存在する条件は、解と係数の関係から t^2-ut+v=0 が実数解（x,y)を持つことであり、u^2-4v≧0。
ですね。

補足

（１）u = x + y = 1
v = xy = -2
とする二式の方程式は
x = -1, y = 2とx = 2, y = -1を解にもつ
よって点( 1, -2 )はＴ(R^2)に属している

（２）u = x + y = 1
v = xy = 2
これよりxを消去して
y-y^2-2= 0
という式を得る。この方程式の解をD = b^2-4acとすれば
D = (-1)^2-4×2×1= -7<0
D < 0であるから解をもたない
よって点( 1, 2 )はＴ(R^2)に属していない

（３）任意の点( a, b )とする。
u = x + y = a
v = xy = b
⇔ x( a –x )=b
⇔-x^2-ax=b
⇔x^2-ax-b=0
判別式Dとして解をもつときa^2-4b>0であるから
a^2-4b>0
⇔(x+y)^2-4xy
= x^2-2xy+y^2>0
これが条件でよろしいのでしょうか？
ということは・・・・uv平面上に図示する図形は(u-v)^2なのですか？？