平面領域の変換

質問

（ｘ、ｙ）－空間の領域Ｄを極座標に変換した　　（ｒ、θ）－空間の領域Ｄ’を求めて図示したい。

＊　a>0,b>0を正数とする。
　　Ｄ＝｛（ｘ、ｙ）｜0≦ｘ≦a,0≦ｙ≦ｂ｝

0≦ｘ≦a,0≦ｙ≦ｂとあるので、こういった場合対応するｒ、θの範囲を求めればいいのでしょうか？ しかしa
を変換するとなると何をすればいいのやら？

　（ｒ、θ）－空間の領域Ｅ’を直交座標に変換した（ｘ、ｙ）―空間の領域Ｅを求めて図示したい。

＊　Ｅ’＝｛（ｒ、θ）｜π/3≦θ≦π/４、　　　　　　　　　　　　　　０≦ｒ≦１/(cosθ+sinθ)｝
これも上が解ければ解けるのではないかと思ってます。
しかしおそらく基礎的なことが分かってないので、まず
第一にすべき事が見えてこないのだと思います。
　プロセスを教えていただけないでしょうか？

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

極座標にしても表示方法の違いだけですから領域の図示は変わりません。
どちらの表示が分かりやすいかだけです。

Dのほうはx、yのほうが分かりやすいと思いますがどうしても極座標にするのなら
rcosθ＝x、rsinθ＝y で変換してやれば良いと思います。a,bは定数ですから直しようがないでしょう。
例えば0≦ｘ≦aは 0≦rcosθ≦a だから0≦r≦a/cosθ
といった具合でしょうか。
ただしθは0からπ/2

Eのほうはcosθ＝x/r などとすればrが消せると思います。

補足

なるほど。疑問点として残るのは
Ｄに関しては、図示する上でaとbの大小の場合分けが必要なのでは？
Ｅに関しては、ｒを消し、ｙ＜１－ｘがでてくる。
（π/3≦θ≦π/４っておかしいですよね？たぶん逆でしょう。）ｒ/2≦x≦r/√2　とr/√2≦ｙ≦√3ｒ/2がでてきましたがｒを消去するにはx/yとでもやればいいのでしょうか？

回答No.4

kony0

Ｄに関する(r,θ)の領域の図示

θ
↑＿＿＿＿
｜　　　　＼
｜　　　　　＼
｜　　　　　／
｜　　　　／
｜　　　／
｜＿＿／＿＿＿＿ｒ
　　小　大　対角線

（図がずれてたら、適当なフォントでみて下さい）

a≦bのときのｒ－θグラフを描くと、だいたい上のような図になるものと思われます。
ここで、小とはmin(a,b)=aのこと、大とはmax(a,b)=bのこと、対角線とは√(a^2+b^2)のことです。

右上がりの線は、arccos(a/r)
右下がりの線は、π/2 - arccos(b/r)

ここで、右上がりの線と右下がりの線の立ち上がる時期が相違していることがひとつのポイントです。

なお、a<bのときは、上の図を上下ひっくり返したようなイメージになると思われます。（式のつくりは一緒でしょうが）

回答No.3

noname#24477

D'＝{(r,θ)｜0≦rcosθ≦a,0≦rsinθ≦ｂ，0≦θ≦π/2}

E＝{(x,y)|x+ｙ≦1,y≧x,y≦√3x}

ぐらいでどうかなと思いますが。

Dの方は式の共通部分で、a,bの場合分けは必要ないような気がします。

補足

Eは解けました。Dがさっぱり分かりません。何からはじめればいいのか？
0≦r≦a/cosθ,0≦r≦b/sinθ,0≦θ≦π/2
ｒ１=a/cosθ
ｒ２=b/sinθ ｒ１、ｒ２のグラフを増減表から判断し
ｒ－θグラフに描くと家のようなグラフになりますがこれでいいのでしょうか？それで反転させてθ－ｒグラフ
にするって言うのはどうでしょう？

回答No.2

kony0

>Ｄに関しては、図示する上でaとbの大小の場合分けが必要なのでは？

当然にそうなります。
回答としては
1) 0<r≦min(a,b)
2) min(a,b)<r≦max(a,b)
3) max(a,b)<r≦√(a^2+b^2)
のそれぞれでΘの範囲を求めることになるのでしょう。

ちなみに、「プロセス」は、極座標変換なら、与えられた領域を、「バームクーヘンの断面みたいに同心円状に塗りつぶしていこうとするときの、半径と角度の範囲を考えること」です。

Eは答えが出てるようですが、与えられる領域を図示できればOKでしょう。