∬1/√(x^2+y^2)dxdyの追加の質問です

質問

何度もすいません。この問題なのですが、　D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}での積分をするにあたって極座標変換をする時、どうして0≦θ＜π/4のときがr=1/cosθで、π/4≦θ≦/2のときがr=sinθなのでしょうか。また今まで自分は円形の領域でしか極座標変換はできないものと思っていましたが今回の領域Dは正方形です。こういう場合でも極座標変換は使ってもよろしいのでしょうか。
当たり前のことなのかもしれませんが自分はイメージをつかむことができません。どうか解答よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

積分領域D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}を極座標に変換すると、この正方形領域は１つの式で表せないのでDを２つの領域（図のD1とD2）に分割することで領域を極座標で表すことが可能になります。
D=D1+D2
三角領域D1={(x,y)|0≦y≦x≦1}⇔{(r,θ)|r=1/cosθ,0≦θ＜π/4}
三角領域D2={(x,y)|0≦y≦x≦1}⇔{(r,θ)|r=1/sinθ,π/4≦θ≦π/2}
ここで
D1の積分境界の極座標線分r=1/cosθ(0≦θ＜π/4)は　線分x=1(0≦y≦1)に対応します。
またD2の積分境界の極座標線分r=1/sinθ(π/4≦θ≦π/2)は　線分y=1(0≦x≦1)に対応します。
極座標におけるr=f(θ)(θ1≦θ≦θ)の直線や線分の表現をしっかりマスターしましょう。
そうすれば、積分領域D1では極座標における積分範囲は0≦r≦1/cosθ,0≦θ＜π/4となることが分かります。
また、積分領域D2では極座標における積分範囲は0≦r≦1/sinθ,π/≦θ≦π/2となることが分かります。
極座標の直線(線分)の表現に慣れれば、分かることです。

>こういう場合でも極座標変換は使ってもよろしいのでしょうか。
ぜんぜん問題ないですね。面積素で考えて積分領域を全部覆っていれば、積分領域の形が円形領域に限定する必要はないですね。ただ円形領域だと積分が簡単なので、極座標の積分問題が円形領域や扇形領域の問題が多く出題されているに過ぎないだけです。

お礼

非常に分かりやすい説明ありがとうございます。自分はまだまだ勉強不足だということがわかりました。
回答してくださり本当にありがとうございました。

回答No.1

noname#171582

グラフ

お礼

具体的なイメージをつかむことができとても参考になりました。
回答して下さって本当にあらがとうございました。