∬sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1

質問

∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
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この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の２．の(5)の答えは"２"になっております。
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さて、ちょっとややこしいのですが、上記二者は全く同じ問題ではないので、こことは別なあるご相談サイトで前者の問題
∬_S sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1・・・・・について質問したところ、次のような回答がありました。

その回答の抜粋；”私も積分値が何なのかは知りませんが、積分領域の S の面積がπ/4 で、sin(x+y)≦1 なので積分値はπ/4 以下になります。”
あとで気づいたのですが、この記述は、
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の答えと矛盾するような気がしますが、どうでしょうか？
当方独学の部分が多いため、わからなくなって困っております。宜しくお願い致します。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx　…(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算（ガウス数値積分法その他→参考URL参照）で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28integrate%28sin%28x%2By%29%2Cy%2C0%2Csqrt%281-x%5E2%29%29%2Cx%2C0%2C1%29
integrate(integrate(sin(x+y),y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/gakuyu/suti/sekibun/gauss-int.html

補足

簡素かつ、非常に美しい解法をお示し戴き感銘しました。
∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
の部分がややトリッキーでしたが、cos(α+β)=・・・の展開式の逆算で確認できました。ガウス・ルジャンドルについては、数学科の出身でない私には荷が重いですが、シンプソン近似の発展型のような感覚でしか見れてません。取敢えず二点のみ質問させてください。
(1)直交性のところで、"ガウス"だけに発散定理が頭に浮かびましたが、何かしら関連があるでしょうか?
(2)重み係数の定義式(5.36)をじーと見ていると、この中にも直交性の概念が導入されているような気がしますが、概略そう考えて良いでしょうか?

回答No.3

info22

#2です。
A#2の補足に関連して
ガウス=ルジャンドルの数値積分と呼ばれるとおり直交性の性質を使っているのだと思います。
(1)、(2)はあたっていると思います。最近は、ガウス法の数値計算法そのものの研究とは疎遠になっていますので、もっぱら使う法に回っています。
特に収束性の悪い定積分の計算では、シンプソン公式による数値積分に比べ、はるかに少ない分割数で、同等以上の計算精度が得られます。昔、収束性の悪い積分（シンプソンでは分割数を10^8以上にあげても収束しないような積分）でもガウス＝ルジャンドル法での数値積分では比較的短時間で積分の収束値が得られる。そんな計算を大量にパラメータを変えて計算をしてシミュレーション実験値と照合する仕事をやっていました。
現在はほとんどこの数値積分法も使っていませんし、シンプソン法で分割数が100000000以上になるような数値積分もやらなくなりました。
せいぜい、分割数は10000程度ですね。
ガウス法なら積分区間を高々100分割位しておいて個々の区間に対してガウス法で10分割前後で計算し、それらを加えた積分値で、10^-8程度かそれ以上の精度で数値計算ができたと思います。

今は、色々な数値計算ソフトや数式処理ソフトがあって、簡単に数値積分をやってくれます。昔が重み関数を手入力し、フォートランでプログラミングして、コンパイルして中型・大型計算機で数値計算をやっていましたが、今はパソコン上で数値計算ソフトを使えばプログラミングらしいプログラムを作らなくても数値計算ができてしまいますね。

お礼

有難う御座いました。４０代後半から数学をおさらいし始め、（なんせ学生時分は教養課程は、サボりと瞑想で過ごしました）
ほぼ１０年近くなります。途中、停滞期間もあったりで、思うように進みません。また、宜しかったらご回答お願い致します。
今回は、有難うございました。

回答No.1

Tacosan

積分範囲が違うことに気づいてください.
あなたが考えている定積分の積分範囲は S:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}.
リンクの PDF で考えている定積分の積分範囲は {(x, y): 0 ≦ x ≦ π/2, 0 ≦ y ≦ π}.
この 2つは (図示すれば自明ですが) 明らかに異なります.

補足

すみません。OKWaveに不慣れなもので、上の方からコメントしてしまいました。
x^2+y^2≦1の部分の処理に困って、グリーンの定理を使って線積分化して・・・・・などとやってしまった経緯があります。
なんせ、x^2+y^2≦r^2；(0<r≦1)、の形をしているので円の掃過面積が想定されますので。1/4ですが。つまり気づいてました。