∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

質問

∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
という重積分について質問です。∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyってどう違いますか？

この場合では、領域がｘ軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、ｙ座標が負になっている部分をｘ軸に関して折り曲げた結果として、図形がｘ軸に関して対称だったために、ｙ座標が正の部分を２倍することになったと考えればよいのでしょうか？
言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

>この場合では、領域がｘ軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。

回答No.2

noname#111804

∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyでは答えが違ってきます。

実際に、計算してみるとわかりますよ。
積分領域＝（ｘ＞０、ｙ＞０）＋（ｘ＞０、ｙ＜０）
だからです。