重積分∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy (a>

質問

重積分∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy (a>0) D: x^2 + y^2 <= a^2を極座標
で解こうとしているのですが、うまくいきません。
本の答えの"(2πa^3)/3"まで、どうにか辿り着かせてください。m(__)m

自分がやったところまで書きますと、
0 <= r <= a (自信なし)
0 <= θ <= 2π
√(a^2 - (r cos(θ))^2 - (r sin(θ))^2)
=√(a^2 - r^2 cos(θ)^2 - r^2 sin(θ)^2)
=√(a^2 - r^2(cos(θ)^2 + sin(θ)^2))
=√(a^2 - r^2)
(この時点でθが残ってないのが怪しい…)

∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy
=∫∫_E √(a^2 - r^2) drdθ
=∫[0,2π] dθ ∫[0,a] (a^2 - r^2)^(1/2) dr
=∫[0,2π] dθ [(2/3)(1/2r)(a^2 - r^2)^(3/2)][0,a] (ここからまったく自信なし)
=∫[0,2π] dθ [(1/3r)(a^2 - r^2)^(3/2)][0,a]
=∫[0,2π] dθ [(1/3a)(a^2 - a^2)^(3/2)] - [(1/3(0))(a^2 - 0^2)^(3/2)]
…0では割れないので間違っているはずです。

計算機で∫[0,a] (a^2 - r^2)^(1/2) drを解くと
(a・|a|・π)/4
と出ます。これも正しいのか分かりません。

まずは、この問題でのrとθの範囲の取り方を教えてください。
お願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

x や y をどのように置くのか書かないとダメだろ.... 自分の中だけで完結するならともかく, このように他人の目に触れることを前提にするなら「書かなくてもわかってくれるはず」という甘えはなくしてほしい.
で x = r cos θ, y = r sin θ とおくと
√(a^2 - x^2 - y^2) = √(a^2 - r^2) です. ここは θ が消えるのが正解... というか, ここで θ が残らないように置換しているんだから消えて当然, 消えない方がおかしい.
でそこはいいんだけど
∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy
=∫∫_E √(a^2 - r^2) drdθ
は間違っています. 置換積分についてきちんと確認してください.
なお, ここから既に間違っているので本筋とは全く関係ありませんが
∫[0,2π] dθ ∫[0,a] (a^2 - r^2)^(1/2) dr
=∫[0,2π] dθ [(2/3)(1/2r)(a^2 - r^2)^(3/2)][0,a]
も間違いです.
で (この問題とは全く無関係なので) もう本当にどうでもいいのですが
「計算機で∫[0,a] (a^2 - r^2)^(1/2) drを解くと
(a・|a|・π)/4
と出ます」の部分は正しい.

お礼

出来ました！（奇跡的に）
後半の間違いのご指摘も大変な助けになりました。

∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy
=∫∫_R {√(a^2 - r^2) r} drdθ
=∫[0,2π] dθ ∫[0,a] {r(a^2 - r^2)^(1/2)} dr
=[θ][0,2π] [(-1/2r)(2/3)r(a^2 - r^2)^(3/2)][0,a]
=[2π - 0] [(-(a^2 - r^2)^(3/2))/3][0,a]
=2π [(-(a^2 - a^2)^(3/2))/3 - (-(a^2 - 0^2)^(3/2))/3]
=2π [(-(0)^(3/2))/3 - (-(a^2)^(3/2))/3]
=2π [(a^3)/3]
={2π(a^3)}/3

ありがとうございました！

補足

あーっ、ありがとうございます、よく見るとrが抜けてますね！
それと「x = r cos θ, y = r sin θ とおくと」を忘れていました、すみませんでした。
計算し直しますので、しばらくお待ちください。m(__)m