∫∫D 1/{(x+y)^2+1}dxdy D={x≧0,y≧0,x+

質問

∫∫D 1/{(x+y)^2+1}dxdy D={x≧0,y≧0,x+y≦0}

この2重積分が解けなくて困っています。
方針として、部分分数分解を目指し、　t^2=(x＋y)^2　としてt^4+2t^2+1-2t=(t^2+1)^2-2t^2
さらに、因数分解する方法で解けるのか？

それとも、∫1/(x^2+1)dx=arctan|x|+cを利用するのか？

いくつか考えては見ましたが、解けませんでした。
どなたか、解き方がわかる方、解答及びそのポイントを教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

まず、Dの定義がおかしいです。この定義だとD={(0,0)}です。なのでD={x≧0,y≧0,x+y≦k}として考えます。

　まずは、積分領域を考えます。Dは三角形です。
　次はs=x+y,t=xと変数変換します。このような変数変換は、三角形領域の積分でしばしば使います。
　∂s/∂x=1,∂s/∂y=1,∂t/∂x=1,∂t/∂y=0、よりヤコビアンは1。
　∫_{0}^{k}∫_{0}^{s}dtds/(s^2+1)
=∫_{0}^{k}sds/(s^2+1)
=1/2×[log(s^2+1)]_{0}^{k}
={log(k^2+1)}/2

お礼

ありがとうございました。
三角形領域の積分はt=xの変数変換も必要なのですね。

どうしても、x+y=u のみで変換しようとして、解けなかったため助かりました。

その場合、ヤコビ行列が[∂u/∂x,∂u/∂y]となり、行列式の値が出ないのでは？とか考えていました。

もしよろしければ、なぜ、t=xと置くのかも教えていただきたいです。