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3次の因数分解

連立方程式 (x^3)+(y^3)+3xy-1=0 と (x^2)+(y^2)=2 を満たす実数x,yの求める問題で (x^3)+(y^3)+3xy-1=0 から ★(x+y-1){(x^2)+(y^2)-xy+x+y+1}=0になることが分かりません。 (x+y-1)…(1) ★(x^2)+(y^2)=2←はどのように現れたのでしょうか? {(x^2)+(y^2)-xy+x+y+1}を利用すると思うのですがどうやって(x^2)+(y^2)=2がでたのか分かりません。 これを…(2)として (1)より x+y=1を両辺2乗して (x^2)+2xy+(y^2)=1 ★(x^2)+(y^2)=2からxy=-(1/2)になるのが分かりません x,yを2次方程式にsるうと x+y=1 xy=-(1/2) より (t^2)-t-(1/2)=0 両辺に2をかけて 2(t^2)-t-(1/2)=0 2つの解を求めると t=(1±√3)/2になりますが ★(x,y)で表すと {(1±√3)/2 , 1マイナスプラス√3)/2} になることが分かりません。

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noname#40706
noname#40706
回答No.4

A3です すみません 計算 間違いがありそうです。 x^3)+(y^3)+3xy-1= =(x+y)^3-3xy(x+y)+3xy-1 これをxyでくくります。 すると、(x+y)^3-1-(x+y-1) となります → (x+y)^3-1-3xy(x+y-1) となります   ですか この式の右にx+y-1 がありますので、 左の方も(x+y-1)のかたちになればいいなあ・・・ と考えるわけです。 計算は自分でしてみてくださいね。

suika_11
質問者

お礼

何度もすいません。 やっと理解できました。 どうもありがとうございます。

suika_11
質問者

補足

解説ありがとうございます。 数Cはまだ分からないのでBの範囲で教えて貰えたら嬉しいです。 2つの解を求めると t=(1±√3)/2になりますが (x,y)で表すと {(1±√3)/2 , 1マイナスプラス√3)/2} になるのが分かりません。 tはx+yなので x+y=(1±√3)/2 どうして、xとyは符号が逆になるのでしょうか?

その他の回答 (4)

  • Tsukapi
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回答No.5

数学Cの知識になってしまうけど、この問題の場合は x=√2cosθ y=√2sinθ と置く事が出来ます。 というのもx^2+y^2=2よりこれが表す図形は半径√2、原点が中心の円だからです。 (これを説明するには三角関数の定義を考えてないといけませんが省略。) 実際にx,yをθを使って置き換えてもちゃんと上式が成り立つことがわかると思います。 これで変数が1つになるから、3倍角の公式などを使ってcosθかsinθにまとめます。 するとあっという間に答えが出てしまいます。

suika_11
質問者

補足

数Cはまだ分からないのでBの範囲で教えて貰えたら嬉しいです。 2つの解を求めると t=(1±√3)/2になりますが (x,y)で表すと {(1±√3)/2 , 1マイナスプラス√3)/2} になるのが分かりません。 tはx+yなので x+y=(1±√3)/2 どうして、xとyは符号が逆になるのでしょうか?

noname#40706
noname#40706
回答No.3

いろいろ大変ですね(笑) x^3)+(y^3)+3xy-1=0 こういう式、つまり、xとy とが 「対等」なかたちの式を 対称式 というのではありませんか? 名前は別にして・・・・・ こんな式は  x+y  とxy  を使って 式が変形できます。 (x^3)+(y^3)= (x+y)^3-3xy(x+y) です。 えーっ こんなの無理! ならば、(x+y)^3 を展開して、考えてみてください。 なぜこんな考えがでてきたかというと、「x+yであらわせる、」「3次式だ」の2つのキーワードです。 さて、すると、 最初の式は (x^3)+(y^3)+3xy-1= =(x+y)^3-3xy(x+y)+3xy-1 これをxyでくくります。 すると、(x+y)^3-1-(x+y-1) となります。 ここで、(x+y)^3-1=(x+y-1)×(・・・) がでてきたら、うれしいのですが。 ここまでの計算がむずかしければ、 はじめに、x+yをA、xyをB とおいて 計算してください。 x+y xy で表すなどというアイデア、自分で思いつく人、天才ですね。普通の人はこうして教わって覚えて使いこなせればいいのです。 ところで <(x+y)^3-3xy(x+y)+3xy-1 これをxyでくくります。> としましたが、(x+y)でくくったら苦労しますよ。 xyでくくる ということは、上の式をxyの1次式と見たということです。 (x+y)でくくったら、これは(x+y)の3次式と見たということです。1次式と見ることができる式をわざわざ3次式で考えることはありません。 ★(x^2)+(y^2)=2からxy=-(1/2)になるのが分かりません (1)から、x+y=1 がでてきてますね。 すると、(x+y)^2=1 ですから、 あとは、いけるのでは? 最後、 x,yを2次方程式にsるうと x+y=1 xy=-(1/2) より (t^2)-t-(1/2)=0 両辺に2をかけて 2(t^2)-t-(1/2)=0 2つの解を求めると t=(1±√3)/2になりますが・・・・ x,yが2つの解となるような、tの2次方程式が t^2-・・・=0 なのです。 ですから、この式を解いた答え、 t=(1+√)と(1ー√)の2つがずばりxとyそのものなのですよ。 ごまかされた、あるいは あれれ という気がするかも知れません。一晩じっくり考えて見てくだされ。 なかなか疲れますね(苦笑)

  • tatsumi01
  • ベストアンサー率30% (976/3185)
回答No.2

No. 1 のものですが、途中で送信を押してしまいました。 > ★(x^2)+(y^2)=2←はどのように現れたのでしょうか? これは導く式ではなく、問題の仮定です。したがって、「なぜ」と聞くことは意味がありません。 恐らく (x^2)+(y^2)-xy+x+y+1 = 0 に代入して 2-xy+x+y+1 = 0 を導くときに使うのでしょうが、実際にこの先をやってないから判りません。

  • tatsumi01
  • ベストアンサー率30% (976/3185)
回答No.1

> (x^3)+(y^3)+3xy-1=0 > から > ★(x+y-1){(x^2)+(y^2)-xy+x+y+1}=0になることが分かりません。 公式を使ったんでしょう。 a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

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