- 締切済み
変換変換と極座標変換の面積 微積問題
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
みんなの回答
- info222_
- ベストアンサー率61% (1053/1707)
>私は求める面積というのを間違っていたと思いました。 >単に変数変換して、極座標変換するのではなく写像Fがどういうものか、そしてそれがどのように表してあるのかを考える必要があったと思います。 写像F(D)によって, (u,v)の領域は添付図の曲線の内部(周を含む)ようになります。 この領域の周の境界線の方程式はアフィン変換を使って求めることができます。 >ヤコビアンを使った重積分変換は この場合、行列式を求めると同様に行います。 >もしかしたらヤコビアンには絶対値がつくのですか? そう、絶対値がつきます。 >∂(u,v)/∂(x,y)=4(x^2-y^2)によってヤコビアンを求め、 >xyに関してDの領域で面積を求めるという考えにいきつきました。 >∮∮D 4(x^2-y^2)dxdy 面積S=∬[F(D)] dudv = ∬[D] |J|dxdy …(※1) >となりました。 この記号「∮」は周回積分または閉ループに沿っての積分の記号ですから、普通の積分では使っていけません。「∫」、「∬」などを使ってください。 |J|=|4(x^2-y^2)| ■■領域Dの「x^2+(y-1)^2≦1/2」は添付図のy=xの直線の上部にあるので「y≧x」となります。■■ ■■したがって |J|=4(y^2-x^2) ■■ となります。 (※1)より S=∬[D] 4(y^2-x^2) dxdy …(※2) このままでも積分できますが、 >そこで、極座標変換を x=rcosθ,y=1+rsinθと置いたのですが、 >どうしても答えがマイナスになってしまいます。 たぶん S=∬[D] J dxdy= ∬[D} 4(x^2-y^2) dxdy で計算されたため積分値がマイナスになったのでしょう。 (※2)を計算すれば正しい結果が得られます。 S=∬[D] J dxdy= ∬[D} 4(y^2-x^2) dxdy =4∫[r:0,1/√2] dr ∫[θ:-π/2, 3π/2] {(1+rsinθ)^2-r^2*(cosθ)^2} dr =2π
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
もちろんヤコビアンには絶対値が必要です. この問題だと積分領域 D 全域で y^2 ≧ x^2 なので被積分関数は 4(x^2-y^2) ではなく |4(x^2-y^2)| = 4(y^2-x^2) となります. あと, F が 1対1 であることは確認しておく必要がありますね. F が 1対1 なら F(D) 上の積分を D 上の積分に単純に置き換えることができますが, 1対1 じゃないと変な部分を重複して計算しちゃうことになりますんで (これは 1変数でも同じことです: 1変数の変数変換では「1対1」と「狭義単調」が同じ意味になりますが).
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
そう, ヤコビアンを使って変形するのが (基本的には) 正しい. とはいってもまだまだ突っ込むところはあります. まず, 本当にそのように変換していいというのはどのように確認しましたか? 変数変換において「任意の写像を使っていい」わけではないということは理解していますか? また, ヤコビアンを使った重積分の変換を, もう一度確認してください. 実はほんのちょっと間違っています (「答えがマイナスになってしまいます」の原因はここ).
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「変数変換した後にDの領域をうまく求めれないです」の意味がよくわからんです. 「変数変換した後」の「D の領域」って, どういうことですか? ひょっとして F(D) のことでしょうか? もしそうだとしたら, その形がここではあまり意味を持たないといっておきましょう. そんなことより大事なことがあるんです.
お礼
ありがとうございます! 結局は、∂(u,v)/∂(x,y)=4(x^2-y^2)によってヤコビアンを求め、 xyに関してDの領域で面積を求めるという考えにいきつきました。 ∮∮D 4(x^2-y^2)dxdy となりました。 そこで、極座標変換を x=rcosθ,y=1+rsinθと置いたのですが、どうしてもこたえが答えがマイナスになってしまいます。 どこかおかしいとこでもありますか? お願いします!
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
で質問はなんですか? まさか「自分で考える気はないのでそのまま暗記できるように全てを教えてほしい」などとは言いませんよね?
補足
変数変換して、極座標変換することは分かっているのですが、 変数変換した後にDの領域をうまく求めれないです。 そこがいまは1番難しいと思っています。 説明不足ですみません。
関連するQ&A
- 大学の微積の問題です。
大学の微積の問題です。 関数F(x,h(x,y))は、写像 (x,y)→ u = x v = h(x,y) と写像 (u,v) → F(u,v) の合成である。これよりF(x,h(x,y))の変数xによる偏微分を求めよ。 Dh(x) = Dg(f(x))・Df(x) という式を使うっぽいんですけど、 この式の意味がよくわかりません。教えてください!!
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の微積の問題です
1.C^2級関数fx(x,y)=fy(x,y)を満たすとき、fxx(x,y)=fyy(x,y)が成り立つことを示せ 2.C^2級関数f(x,y)に対し、x=u+2v,y=2u-vとするとき (1)∂f/∂uを∂f/∂x,∂f/∂yを用いて表せ (2)∂^2f/∂v∂uを∂^2f/∂x^2 , ∂^2f/∂x∂y , ∂^2f/∂y^2を用いて表せ これらの問題がサッパリ分かりません、どなたか分かりやすく解法教えていただけないでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 微積をがんばっているのですがどうしても次の問題ができずに困っています。
微積をがんばっているのですがどうしても次の問題ができずに困っています。 どなたか助けていただけますでしょうか・・・ xy平面において 0≦x≦y≦√π で表される領域をDとする。 問 領域Dにおける次の重積分Iを累次積分で表し、Iを求めよ。 I=∬sin(y^2) dxdy D よろしくお願い致しますm(_ _)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微積
学校の過去問を解いていて、分からないところを教えていただきたくて、投稿しました。どれでも良いので回答していただけると助かります。 ★1つ目 f(x、y)=e^(x^2+y-1)+2e^(x-1)-3=0により定まるxy平面の曲線をCとする。 (i)曲線Cをy=y(x)として、点P(1、y(1))を求め、Pをとおる接線の式を求めよ。 答え:P(1,0)より接線は y=-4x+4 分からないのは(ii)です… (ii)点Pにおける (d^2)y/dx^2を求めよ。 答え0になったのですが合ってるのか自信がなくて… ★2つ目 Z=f(x、y)とする。座標変換をαは定数として x=ucosα+vsinα y=-usinα+vcosα とする。 (i)(∂^2)z/∂u^2+(∂^2)z/∂v^2 を計算過程を示して、座標(x、y)を用いて表せ。 ★3つ目 fはc^2級でf=f(x、y)、x=u+v y=u-vとする。 (i)fxとfyをfu、fvで表せ。 答え:fx=1/2(fu-fv) fy=1/2(fu-fv) となるところまでは分かったのですが、(ii)が分かりません。 (ii)fxx-fyyをfの変数u、vに関する編導関数を用いた式で表せ。 これらを質問したところ、以下のような回答があったのですが、私には理解できませんでした。 どなたか教えていただけないでしょうか?? ★2つ目 x=1、y=0のとき、次のようになりませんか? d^2 f/dx^2=(2-4)^2+2+d^2 y/dx^2 +2=0 ∴d^2 y/dx^2=-8 ★3つ目 偏導関数 fuv を求めてみてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の面積の問題です!
数学の面積を求める問題です。急いでいます! xy平面において、連立不等式 x^2+y^2≦4 y≧x^2-2 で表される領域のDとする。Dの面積を求めろ。 という問題です。 私の考えでは半円の面積を求めて、そこから端の三角形のような図形を積分で求め、半円から引けばいいのかなと思いました。しかし、なかなかうまく出来ません。 解説も欲しいです。よろしくお願いします!
- 締切済み
- 数学・算数
- 微積
学校の過去問を解いていて、分からないところを教えていただきたくて、投稿しました。どれでも良いので回答していただけると助かります。 ★1つ目 f(x、y)=e^(x^2+y-1)+2e^(x-1)-3=0により定まるxy平面の曲線をCとする。 (i)曲線Cをy=y(x)として、点P(1、y(1))を求め、Pをとおる接線の式を求めよ。 答え:P(1,0)より接線は y=-4x+4 分からないのは(ii)です… (ii)点Pにおける (d^2)y/dx^2を求めよ。 答え0になったのですが合ってるのか自信がなくて… ★2つ目 Z=f(x、y)とする。座標変換をαは定数として x=ucosα+vsinα y=-usinα+vcosα とする。 (i)(∂^2)z/∂u^2+(∂^2)z/∂v^2 を計算過程を示して、座標(x、y)を用いて表せ。 ★3つ目 fはc^2級でf=f(x、y)、x=u+v y=u-vとする。 (i)fxとfyをfu、fvで表せ。 答え:fx=1/2(fu-fv) fy=1/2(fu-fv) となるところまでは分かったのですが、(ii)が分かりません。 (ii)fxx-fyyをfの変数u、vに関する編導関数を用いた式で表せ。 ★4つ目 (0、0)のまわりで次の関数をテイラー展開し2次の項まで求めよ。 {√(1-2x-y)} cosx これを、もしyで一回微分したら、 1/2(1-2x-y)^(-1/2)cosx で合ってますか??
- 締切済み
- 数学・算数
- 表面積の問題です。
回転体の表面積。曲面がz軸を軸とする回転体の場合、すなわちr=f(z),a≦z≦b,r=√(x^2+y^2)と表されるとき、表面積が 2π∫_a~b f(z)√(1+f'(z))^2dzで表されることを示せ。 この問題ですが、さっぱりわかりません。まず、(1)r=f(z)としてあるのに、r=√(x^2+y^2)とあること。これは要するにf(z)=√(x^2+y^2)なのでしょうか?zの関数なのにzがないとは??これはf'(z)をどう計算するのか? (2)確かに接平面の曲面積=∬_D√(fx^2+fy^2+1)dxdyですが、この場合には、最初にf(z)がきていますから。。。。手の付け方がわかりません。 誰かよろしければやさしく教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極座標の使い方を教えてください
極座標の使い方を教えてください 『U=k/r;r=(x^2+y^2)^1/2に対して、F=-∇Uのx,y成分と極座標r,φ成分を求めよ』 『xy平面では、∇f(x,y)=(df/dx,df/dy)で与えられるが、このベクトル場を極座標の成分で表せ』 解答は、前者の問題では、極座標はF=(-dU/dr,-dU/dφ)として出しているのに対し、後者では長々と解答しています。なぜこのような違いが出るのですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- パラメーターr、θ 関数 面積
パラメータr、θ(r>0、0≦θ≦π/4)に対してxの関数f(x)=rsin(x+θ)を考える。 (1)r、θが等式 ∫(0→2π)(sinx-f(x))^2 dx=∫(0→2π)(sinx)^2dx・・・A を満たしているとき、rをθの関数として表せ。 (2)Aを満たしながら、r、θを動かしたとき、0≦x≦πにおけるy=f(x)のグラフはxy平面上を動く。これらのグラフが動く範囲Dを求め、図示せよ。 (3)図形Dの面積Sを求めよ。 この問題を解いているのですが、(1)では∫をそのままはずして計算できるのでしょうか?そのようにして計算してみたところxが消えなかったので間違っているのではないかと思っています。 難しくて困ってます。回答よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
何度もありがとうございます。 私は求める面積というのを間違っていたと思いました。 単に変数変換して、極座標変換するのではなく写像Fがどういうものか、そしてそれがどのように表してあるのかを考える必要があったと思います。 ヤコビアンを使った重積分変換は この場合、行列式を求めると同様に行います。 もしかしたらヤコビアンには絶対値がつくのですか? 何度も本当にありがとうございます。 ご指摘お願いします!