２次関数の問題です

質問

実数x,yが、条件
x^2+xy+y^2=x+y
をみたしているとき、
s=x+yの取り得る値の範囲を求めよ。

xy=s^2-s
と
x+y=s
から、x,yがXの二次方程式、
X^2-sX+s^2-s=0
の２つの解である。
判別式D>=0より、
0<=s<=4/3

という所までは私の解答と模範解答は一致しているのですが、
私は、その後、Xの二次方程式の頂点のy座標
s^2-5/4s<=0
についても考え（実数解を持つため）、
0<=s<=5/4
としました。

解答はy座標については触れていません。
理由が分かる方、なぜ頂点について考えなくてもいいのか説明をお願いします。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

ただの計算間違い。

頂点のy座標が負になることと、判別式が正であることはまったく同じことだ。平方完成の計算を思い出せばそれは明らか。

お礼

助かりました。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#71905

y＝X^2－sX＋s^2－s　　の頂点を考えたとしたら
　y＝{X－(1/2)s}^2－(1/4)s^2＋s^2－s
　y＝{X－(1/2)s}^2＋(3/4)s^2－s
　　頂点{(1/2)s，(3/4)s^2－s}
　(3/4)s^2－s≦0　とすると
　(3/4)s(s－4/3)≦0　で、0≦s≦4/3　となり
　　判別式と同じことになります

●y＝ax^2＋bx＋c
　y＝a{x－(b/2a)}^2－(b^2－4ac)/2a
　　頂点{－(b/2a)，－(b^2－4ac)/2a}
　D＝b^2－4ac
　　頂点{－(b/2a)，－D/2a}
　a＞0　のとき、－D/2a≦0　とすることは
　　D/2a≧0となり、D≧0とすることと同じです。

お礼

助かりました。
ありがとうございました。

回答No.2

darkking

頂点のｙ座標がｘ軸より下で、実数解を持つということを
判別式でやっているのでいりません。

では、なぜ答えがでないかというと計算が間違っています。
「s^2-5/4s<=0」これが違います。

Xの式は
X^2-sX+s^2-s=0
（X-1/2s）^2＋3/4s^2-s=0
になるとおもいます。
よって、頂点は
（1/2ｓ,3/4s^2-s）
となり、
3/4s^2-s<=0
を解けば
0<=s<=4/3
になります。

お礼

助かりました。
ありがとうございました。