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二次関数の問題なので

二次関数の問題なので 例えばですが y = x^2 + 2kx + k^2 - 2 という二次関数の方程式があるとします。 その方程式f(x)=0が実数解α、β(α≦β)をもつとき、次の問題に答えよ。 という設定があり、(1)の問題 α、βがα≦1≦βをみたすようにkの値の範囲を定めよ。 だったとします。 この問題を解くにあたって、既に問題文に「実数解α、β(α≦β)をもつ」とある場合 もう判別式をつくる必要はないのですか? 普通なら、「判別式が正」「この問題の場合、軸の場合分け」「x=1のときyが負」という三つの条件が必要ですよね? しかし、既に問題文に「絶対二つの解をもつ」と書いてある場合は、判別式は必要ありませんか?

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  • 回答No.4

こんばんわ。 まず「はじめは判別式を考えるべき」です。 条件式として考えるようにしましょう。 いまの問題の場合、f(x)= x^2 + 2kx + k^2 - 2とおくと、α≦1≦βとなるための条件は f(1)≦ 0 とかけますね。 実は、この条件に判別式からの条件が含まれています。 というのも、この条件から y= f(x)のグラフが必ず x軸以下に存在する(x軸と共有点をもつ)ようになるからです。 判別式の条件は、グラフが x軸と共有点をもつことと同じです。 ですので、慣れてくれば判別式の条件を省いてもいいかもしれません。

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質問者からのお礼

皆様回答ありがとうございました。 意味が理解できました。 まだ他にも理解出来ていないところがありますので 質問させていていただきますが、またよろしくお願いします。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.3

>その方程式f(x)=0が実数解α、β(α≦β)をもつとき、 これがこの問題の仮定ですから、この仮定を使って、 >α、βがα≦1≦βをみたすようにkの値の範囲を定めよ。 を、計算していくことになります。ですから、 条件「方程式f(x)=0が実数解α、β(α≦β)をもつ」 と、「α、βがα≦1≦βをみたす」 から、 (1)判別式D≧0 (2)α≦1≦β つまり、f(1)≦0 の条件を使うことになります。 ただ、この例の、2次式 y=x^2+2kx+k^2-2 は、判別式が正の条件をすでに満たしているので、この場合 には使う意味がないことになります。 さらに言えば、上の条件(2)から条件(1)が導かれるの で、この場合、(2)の条件だけですむことになります。 >しかし、既に問題文に「絶対二つの解をもつ」と書いてある >場合は、判別式は必要ありませんか? 書いてあるからこそ、この仮定を使えるということです。 問題文に仮定されていることしか使えませんから、使うこと が、「絶対必要」なのです。普通は、使わない条件は問題文に、 書かれていないと考えた方が良いです。 (2)の条件から(1)の条件が導かれる例です。 2次式が f(x)=x^2+ax+b の場合。 (2)は、f(1)=a+b+1≦0 このとき、b≦-a-1 よって、-4b≧4a+4 したがって、a^2-4b≧a^2+4a+4=(a+2)^2≧0 ゆえに、D=a^2-4b≧0 (2)から(1)が示せました。

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  • 回答No.2

「α≦1≦β」を満たしていれば、判別式≧0ということです。 つまり、(1)を解く過程で、自然に含まれることです。 例えば、「解x=1,2をもつ二次方程式の判別式の符号を答えよ」という問題があるとします。このとき、判別式を計算しますか? しませんよね。 そういうことです。

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  • 回答No.1

「実数解を持つとき」というのは問題中の条件ですので、実数解を持つためにはkの範囲はいくらじゃないとダメという制限が入ります。そして、その条件を満たすkの範囲の中で他の条件をも満たすにはどういうことになりますか?というのが問題の聞こうとすることです。ですから、一番最初でいきなり判別式チェックが入りますよ。

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