数学の図形と式に関する問題についての質問です。

質問

s,tが0≦s≦1,0≦t≦1の範囲を動くとき、関係式x=s+t,y=s*sにより定義されるxy平面上の点(x,y)が動く範囲を図示せよ。
答えは「0≦x≦1のとき0≦y≦x*x、1＜x≦2のとき(x-1)(x-1)≦y≦1」です。そこに至る方法がわからなくて…。できるだけ途中式や考え方を詳しく書いていただけると幸いです。
ちなみにx*xとか表記しているのは二乗の書き方がわからないからで、特に深い意味はありません。

回答No.2

mister_moonlight

簡単だけど、考えるポイントがあって、良い問題だ。
考えられる方法は、2つほどある。

(解法-1)

t＝x-s　だから、0≦t≦1　に代入すると、x-1≦s≦x　‥‥(1)
y=s＾2　だから、0≦s≦1　‥‥(2)　の範囲で、yの値の範囲を定めると良い。
(1)と(2)をにらむと、次の2つの場合わけが必要な事がわかる。
・0≦x-1≦1　の時、(x-1)＾2≦y≦1
・0≦x≦1　の時、0≦y≦x＾2

(解法-2)

t＝x-s、y=s＾2　だから、s＝√y 但し、y≧0　
st平面上で、sを縦軸に、tを横軸にとる。
条件から、長さが1の正方形と　直線：t＝x-sが交点を持つ条件を考える。
Ａ(1、x-1)、Ｂ(0、x)であるから、y=s＾2を考えて

・0≦x-1≦1　の時、x-1≦√y ≦1　→　(x-1)＾2≦y≦1
・0≦x≦1　の時、0≦√y ≦x　→　0≦y≦x＾2

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

「2乗」は「^2」と表すことが多いです。
「(x- 1)の 2乗」であれば、(x- 1)^2といった具合です。

さて、本題ですが、
・もし tが含まれていなければ、簡単に y＝ x^2と書けることがわかると思います。
ただし、0≦ s≦ 1より 0≦ x≦ 1となります。
まず、この様子をグラフに表してみてください。

・「t」は一体どんな「効果」をもたらすのか？
tをいくら変えても、tが含まれていない y座標の値は変わりません。

・tを加えると、x座標だけが変化します。
そして、それは上で描いたグラフを「平行移動させている」ことになります。
tを加えていくと y＝x^2のグラフが右へ平行移動していき、その「塗りつぶされた部分」が求める領域となって現れます。

具体的な数字を当てはめて考えてみると
(i) (s, t)＝ (1/2, 0)のとき、(x, y)＝ (1/2, 1/4)とある点に定まります。
(ii) tを変化させて、(s, t)＝ (1/2, 1/2)とすると、(x, y)＝ (1, 1/4)となります。
(iii) さらに tを変化させ、(s, t)＝ (1/2, 1)とすると、(x, y)＝ (3/2, 1/4)となります。

y座標は変化せずに、x方向に平行移動させられていることがわかると思います。