数IIの問題です

質問

xy平面上の点（a、b）から曲線y＝x3乗ーxに3本の相異なる接線が引ける条件をもとめ、その条件をみたす（a、b）のある範囲を図示せよ。です。 わからないのでどなたか教えてください

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

接点の一つを(p,q)とすると

この点の接線は傾きがy'|(x=P)=(3x^2-1)|(x=P)=3p^2-1なので

y-q=(3p^2-1)(x-p)

q=p^3-pを代入して整理すると

y-(3p^2-1)x+2p^3=0

この接線が(a,b)を通ることから

b-(3p^2-1)a+2p^3=0

pについて整理すると

2p^3-3ap^2+a+b=0 (1)

点（a、b）から曲線y＝x3乗ーxに3本の相異なる接線が引ける条件は(1)が相異なる3実解を有する条件に還元される。

そのためには

f(p)=2p^3-3ap^2+a+b

の極大値が正、極小値が負ならばよい。

f'(p)=6p^2-6ap=6p(p-a)

1)a>0のとき

極大値＝f(0)=a+b>0

極小値＝f(a)=a+b-a^3<0

これらの条件を満たす領域を(a,b)平面上に図示する。

2)a>0のとき

極大値＝f(a)=a+b-a^3>0

極小値＝f(0)=a+b<0

これらの条件を満たす領域を(a,b)平面上に図示する。

1)2)で図示した領域の和集合が解である。

お礼

早々にご回答ありがとうございます。よくわかりました。助かりました。感謝いたします。