高校数学の勾配に関する問題です 3-17

質問

傾いた平面上で、もっとも急な方向の勾配(傾き)が1/3であるという、今南北方向の勾配を図ったところ

1/5であった、東西方向の勾配はどれだけか

解説は斜面上の1点を原点Oとする図のような座標空間を設定し、東西方向の勾配を1/aとおき(a>0)
斜面がA(a,0,0),B(0,5,1)を通るとする　すると　斜面の方程式はx/a+y/5-z=0(1)　ここで最も急な

方向の勾配が1/3だから、斜面上をOから出発して移動する際、水平方向に3だけ進んだときの鉛直方
向の移動距離の最大値は1である　つまり(1)にx=3cosθ,y=3sinθを代入して得られるθ(0<=θ<2π)

の関数z=3/a×cosθ+3/5×sinθ=(3/a,3/5)×(cosθ、sinθ)の最大値√｛(3/a)^2+(3/5)^2｝が１に等しい　よって(3/a)^2=1-(3/5)^2=(4/5)^2よって1/a=4/15　よって求める勾配1/aは4/15である

とあるのですが、まず、この図の意味が分からないです東西方向の勾配が1/aだったら何でこの図のような位置になるんですか？A,Bの座標も何でこんな値になるのか分からないです

この図の説明を詳しくお願いします、斜面の方程式も何でこういう風になるのか分からないのでお願いします、移動距離の最大値は1である　つまり(1)にx=3cosθ,y=3sinθを代入して得られるθ(0<=θ<2π)

の関数z=3/a×cosθ+3/5×sinθ=(3/a,3/5)×(cosθ、sinθ)の最大値√｛(3/a)^2+(3/5)^2｝が１に等しい　ここも何を言っているのかさっぱりなので詳しく宜しくお願いします

回答No.6

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

（1983年・東大・文科各類）
現課程および旧課程では「空間における平面の方程式」を扱わなくなりました。添付画像の解法はその当時の教育課程に沿ったものでしょう。

空間座標を使わない解答です。
（図1）
長方形ABFEが地面、長方形CFEDが斜面。OQが最も急な勾配、ODが東西方向の勾配、OCが南北方向の勾配。
C,Q,Dの真下の点がそれぞれB,P,A。
斜面の高さ（DA=QP=CB）を1とすると、題意よりOB=5,OP=3。
（図2）
地面の断面図。OB=5,OP=3よりBP=4。
△BPO∽△OPAなのでBP:BO=OP:OA よってOA=15/4
よって求める勾配は「4/15」…（答）

お礼

御返答有難うございます

補足

この図を見てODが東西方向の勾配、OCが南北方向の勾配は何で分けられるんですか？最も急な勾配と東西方向の勾配やOCが南北方向の勾配と一致することは考えないのですか？

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

>何でですか？じゃあ東西方向の勾配が最大になることは無いという事ですね？

北方向の勾配が 1/5 である限りそうです。最大勾配の向きを東にすれば
北方向の勾配は 0 になります。

机の上に下敷きとか置いて考えては？　どの方向が最大勾配の向きかは
見ればわかります。それに対して垂直方向はどうなるかも見ればわかります。

百聞は一見にしかず。

お礼

御返答有難うございます

補足

分かりました、有難うございました

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri）

>勾配が1/3だから斜面を3進んで1上がるのは分かるんですが、
>水平方向というのはどういうことですか？斜面は水平ではないですよね？

原文はわかりませんが、東方向や北方向の勾配の考え方は図にしっかり示されて
いますよね？ そこから逸脱してはだめですよ。

1次関数の傾きの定義と考え方は同じです。

お礼

御返答有難うございます

補足

はい、斜面を上っていく感じですね、正面から斜面を上っていくのが最大勾配の方角に進むって事ですよね？

回答No.7

上野 尚人（@uenotakato）

No.6の者です。
＞この図を見てODが東西方向の勾配、OCが南北方向の勾配は何で分けられるんですか？
＞最も急な勾配と東西方向の勾配やOCが南北方向の勾配と一致することは考えないのですか？

もし「最も急な購買」が東西方向なら、南北方向の勾配はゼロになりますね。

お礼

御返答有難うございます

補足

>南北方向の勾配はゼロになります
何でですか？じゃあ東西方向の勾配が最大になることは無いという事ですね？、理由のほうをお願いします、まだ問題の意味があまりよく分からないんです

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

>>=|X1|・|X2|cosα
>ここまでは分かりましたが、ここから何でcosθ, sinθ)が (1/a, 1/5) と同方向だと最大になるの答えに>なっているのですか？

|X1|と|X2|は一定なので cosα=1 となる (cosθ, sinθ) を探せばよいのです。

α=0 だから同方向のベクトルです。cosθ : sinθ = 1/a : 1/5 で
(cosθ)^2 + (sinθ)^2 =1 ならどうなるかちょっと考えればわかります。

>>|(cosθ, sinθ)|=1 なので
>これはどこから分かったのですか？

常識です。三角関数の公式を調べましょう。最初の方に出てきます。
三角関数の定義とピタゴラスの定理からも明らか。

お礼

御返答有難うございます

補足

有難うございます、三角関数は確認しました

斜面がA(a,0,0),B(0,5,1)を通るとする　すると　斜面の方程式はx/a+y/5-z=0(1)とありますが、この斜面の方程式ってどうやって出してるんですか？そして、

この斜面の式が出た時に勾配が1/3だから、斜面上をOから出発して移動する際、水平方向に3だけ進んだときの鉛直方向の移動距離の最大値は1である　つまり(1)にx=3cosθ,y=3sinθを代入して得られるθ(0<=θ<2π)
とありまうが、勾配が1/3だから斜面を3進んで1上がるのは分かるんですが、水平方向というのはどういうことですか？斜面は水平ではないですよね？

にx=3cosθ,y=3sinθを代入して得られるもこの値はどこから出てきたのですか？このxとかyは何を表すんですか？

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>X1・X2 = (x1, y1)・(x2, y2) = x1・x2 + y1・y2
>= √(x1^2, y1^2)√(x2^2, y2^2)cosα (αはベクトル同士がなす角度)
>=|X1|・|X2|cosα

あれれ間違ってます。すいません。スマホで書いてるので・・・

X1・X2 = (x1, y1)・(x2, y2) = x1・x2 + y1・y2
= √(x1^2 + y1^2)√(x2^2 + y2^2)cosα (αはベクトル同士がなす角度)
=|X1|・|X2|cosα

この式は私の世代では高1 くらいだったと思います。2次元版は証明が簡単なので
いっぺんやってみるべきです。

お礼

御返答有難うございます

補足

その式は分かりますが、最大値とどう関係しているのですか？

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>>平面の方程式ですが、原点を通る平面なので1)　 z = ex + fy
>これなんですが、平面の方程式って何でこういう風に置けるんですか？

最も一般的な 平面の方程式は

ax + by + cz + d = 0

a、b、c は平面と直交する 法線ベクトル、d は平面と原点との距離を
決めるもので、話せば長くなります。調べてみてください。
まずこの形式を暗記ですね。

勾配というのは、ある方向に進んだ時の高さが変化する割合。
坂のきつさを表します。直線のxy平面に対する傾きと同じ。
10m 進んで 1m 持ち上がれば 平均 +0.1 です。

>(cosθ, sinθ)が (1/a, 1/5) と同方向だと最大になる

X1 =(x1, y1), X2 =(x2, y2) とすると

X1・X2 = (x1, y1)・(x2, y2) = x1・x2 + y1・y2
= √(x1^2, y1^2)√(x2^2, y2^2)cosα (αはベクトル同士がなす角度)
=|X1|・|X2|cosα

ベクトルの基本公式の一つなので覚えておきましょう。

|(cosθ, sinθ)|=1 なので cosαが 1 になる角度を求めればよいです。

お礼

御返答有難うございます

補足

>=|X1|・|X2|cosα
ここまでは分かりましたが、ここから何でcosθ, sinθ)が (1/a, 1/5) と同方向だと最大になるの答えになっているのですか？

>|(cosθ, sinθ)|=1 なので
これはどこから分かったのですか？

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

幾つか補足を

まず、原点と通る平面の方程式は一般に

ax+by+cz=0 という陰関数表現になりますが
cキ0 なら かきなおして

Z=ex+fy

という陽関数表現が扱いやすいです。

図に関しては、図に不明瞭なところがないので
何故読めないのか不明です。具体的にどうよめないか
言ってもらわないと説明のやりようがないですね。

(3/a,3/5)×(cosθ、sinθ) の最大値の件は
ベクトルの内積の性質を知っていれば瞬時に求まります。

2っの直交するベクトルの和の正射影 とみても同じ結論が
簡単に得られます。

いずれにしても、問題集と学力が全然合ってないです。

まさか問題集全問を質問したりしないですよね?

ここがあなたの質問で埋まってしまいます。
#すでにそうなりつつありますが・・・

お礼

御返答有難うございます

補足

>Z=ex+fyという陽関数表現が扱いやすいです
この式とax+by+cz=0 この式は同じなのですか、ax+by+cz=0 は良く見ますがZ=ex+fyは良く分かりません

>(3/a,3/5)×(cosθ、sinθ) の最大値の件は
ベクトルの内積の性質を知っていれば瞬時に求まります。

内積は知っていますが、詳しくお願いしても無理ですか？

>2っの直交するベクトルの和の正射影
こちらの方は分からないので、詳しくお願いします

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

まず、Aの座標が間違ってますね。A=(a, 0, 1) のはず。

原点から東方向(x方向)で 勾配が 1/a ですから、原点からx方向に a 進み
1 上がったところが A(Z=1になる)。

従って A の座標は (a, 0, 1)

原点から 北方向(y方向)で勾配が 1/5 ですから、原点からy方向に 5 進み
1 上がったところがB(z=1になる)。

従って B の座標は (0, 5, 1)

で、平面の方程式ですが、原点を通る平面なので

1)　 z = ex + fy

がやりやすいでしょう。e は xz 平面で平面切った時の交差直線の勾配。
f は yz平面で切った時の勾配です。

なので

2)　z = (1/a)x + (1/5)y

A, B, O の座標を入れて確かめてみてください。

xy平面上で、x軸から y軸方向への角度を θとすると、
原点からXY平面上をθ方向へ3進んだ位置は

3)　(x, y) = (3cosθ, 3sinθ)

この地点で z の値を 3 で割ったのが、傾きだが、z は　2)式に 3) を代入すれば
計算できるので

4)　勾配 = z/3 = (1/a)cosθ + (1/5)sinθ

これの最大値が 1/3 になればよい。

4)式はベクトル (1/a, 1/5) と (cosθ, sinθ) との内積だから
#他にも見方はいろいろあるが、今回はこの見方を採用

(cosθ, sinθ)が (1/a, 1/5) と同方向だと最大になる。
つまり

(cosθ, sinθ) = (1/a, 1/5)/√((1/a)^2 + (1/5)^2)
の時最大になるので、z/3 の最大値は

5) √((1/a)^2 + (1/5)^2)

5)式 = 1/3 とすると

(1/a)^2 + (1/5)^2 = 1/9 ⇒ (1/a)^2 => 16/225 ⇒ 1/a = 4/15 ⇒ a = 15/4

お礼

御返答有難うございます

補足

>A=(a, 0, 1) のはず。
すいません、確かにそうです、間違えました

>平面の方程式ですが、原点を通る平面なので1)　 z = ex + fy
これなんですが、平面の方程式って何でこういう風に置けるんですか？

>e は xz 平面で平面切った時の交差直線の勾配。f は yz平面で>切った時の勾配です。
これも勾配というのは傾きの事ですか？

>この地点で z の値を 3 で割ったのが、傾きだが、z は　2)式
>に 3) を代入すれば
これで何で傾きが出るんですか？θとか何のために使っているのですか？そして

>(cosθ, sinθ)が (1/a, 1/5) と同方向だと最大になる。
これも何で同方向だと最大になるのですか？そして最大値は

√((1/a)^2 + (1/5)^2)となるのも分かりません