高校数学の問題

質問

よろしくお願いいたします<(__)>

3つのハコABCがあり、それぞれ異なる数のボールが入っている。ボール数はAが最も多く、Cがもっとも少ない。３つのボールの数を足すと５４になり、Bの箱のボールの2倍とCの箱のボールの3倍を足すと、Aの箱のボール数の２倍になる。
: ３つの箱のボールの数を求めよ。答えが複数ある場合、Aのはこのボール数が最も多い組み合わせを答えよ

x+y+z=54　　　　　(1)
2y+3z=2x　　　　　(2)

( 2)を展開
X=Y+3/2Z

これを(1)に代入
ｙ＝５４－５/2Z

これを(2)に代入
X＝５４－Z

ここで式2つが揃って
ｙ＝５４－５/2Z　　(3)
X＝５４－Z　　　　(4)

(3)からZ＜21が導かれる

Z＝20

これを(3)(4)に代入し
ｘ＝34
Y＝4
Z＝20

でも「Aの箱のボールがもっとも多く、Cの箱のボールがもっとも小さい」はどうしたらいいのか分かりません。

なおかつ、最初の展開(3)でｙ＝で計算したばあい
x+y+z=54
2y+3z=2x

x=54-y-z
2y+3z=2(54-y-z)

4y+5z=108
y=27-5/4z

x+27-5/4z+z=54
x+27-1/4z=54

x=27+1/4z
y=27-5/4z

0=27-5/4z
Z<108/5=21.6
従って，箱Aのボール数が最も多い組み合わせはx=32，y=2，z=20のときである．

となって数値まで違うものが出てしまう。

何が間違えているのか、どうやればAの箱のボールがもっとも多く、Cの箱のボールがもっとも小さい」が解決できるのか分かりません。

どうぞご教授よろしくお願いいたします。

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

答えだけ書いとくから、どこが違うかは自分でチェックしてね。。。笑

Ａの箱のボールの数をx、Ｂの箱のボールの数をy、Ｃの箱のボールの数をzとする。
条件より、x＋y＋z＝54、2y＋3z＝2xであるから、zを消去すると、5x＋y＝162。‥‥(1)　従って、この不定方程式を解くと良い。
(1)を満たすxとyの特別解を各々α、βとすると、5α＋β＝162　‥‥(2)
(1)－(2)より、5（x－α）＝（β-y）となるが、5と1は互いに素であるから、mを整数として、x－α＝m、β-y＝5mと　‥‥(3)と表せる。
ここで、特別解αとβの1例を求めると、（α、β）＝（30、12）であるから、(3)より　x＝m＋30、y＝12-5m、となるが　z＝54-x-y＝4m＋12.
mは整数で、x＞y＞z＞0　（0は除いたほうが自然と判断する）であるから、-2≦m≦2.
xの値がそれ自身最大で、zがx＞y＞zになるのは、m＝-1の時、即ち、（x、y、z）＝（29、17、8）

回答No.2

agthree

まず、前半の考え方ですが、

>これを(1)に代入
>ｙ＝５４－５/2Z

の部分で計算ミスがあります。(1)に代入すると、
2y=54-5/2z
となるので、結局後半と同じ式、
x=27+1/4z
y=27-5/4z
が導かれます。

x,y,zが正という条件を使って、
y>0より
Z<108/5=21.6
を出されていると思いますが、その他にも条件があるので、それを組み合わせればよいですね。

ご質問の
「Aの箱のボールがもっとも多く、Cの箱のボールがもっとも少ない」
ですが、Cの箱のボールがもっとも少ないということは、Cの箱のボールはBの箱のボールよりも少ないということですから、
y>z
が成り立ちます。つまり、
y=27-5/4z>z
です。
また、Aの箱のボールがもっとも多くということより、
x=27+1/4z
なので、zは与えられた条件下で大きければ大きいほどよいということになります。
また、x,y,zともボールの数ですから整数ということになります。xやyの式よりx,yが整数となるためにはzは4の倍数ということになります。
これらの条件を使ってやってみて下さい。

なお、今回は省略されたのだと思いますが、実際の解答では「A,B,Cの箱のボールの数をx,y,zとする」のような説明をお忘れなく。