境界のある2つの多様体の張り合わせ
M1,M2:境界のある滑らかな多様体
φ:∂M1→∂M2:微分同相写像
ただし∂M1はM1の境界
が与えられたとき、M1、M2の境界をφで張り合わせて
新しい多様体W=M1∪M2をつくることができる。
この定理の証明についての質問です。
まず∂M1、∂M2のカラー近傍U1、U2をとり、
微分同相写像g1、g2をそれぞれ以下のように定義します。
g1:U1→∂M1×(0,1]
g2:U2→∂M2×[1,2)
またg1、g2はともに境界上で恒等写像であると仮定する。
JiをMiからM1∪M2への包含写像とし
g:∂M1×(0,2)→M1∪M2を次のように定める。
g(x,t)=J1(g1(x,t)) (0<t≦1)
g(x,t)=J2(g2(φ(x),t)) (1≦t<2)
その後、M1∪M2はJ1(intM1)、J(intM2)、g(∂M1×(0,2))に覆われており、
それぞれの開集合にJ1、J2、gによって座標近傍系が入るため、
M1∪M2は多様体であると書いてあるのですが、どうして上記のことで
境界の張り合わせを滑らかにできることがわかるのでしょうか?
そしてそもそも座標近傍系が定義できる理由がわかりません…
どうしてなのか説明していただけないでしょうか?
ちなみに参照した文献はMilnor.J Lectures on the h-Cobordism Theoremです。