幾何学の図形の問題を教えて下さい。

質問

平面での、この問題が分かりません。
問題：平行四辺形に対して4辺の長さの2乗和は対角線の長さの2乗和に等しい事を示しなさい
です。分かる方教えて下さい。お願いします

回答No.3

staratras · ベストアンサー

三平方の定理だけでも示せます。

下の図のように平行四辺形ABCDの各辺の長さについて、AB=CD=a、BC=DA=b 、
対角線の長さについて、BD=x,AC=yとする。
また、頂点AとBから辺CDまたはその延長線上に垂線BH、AH’を下ろし、BH=AH'=h とする。

直角三角形BHDについて三平方の定理から　(a-c)^2+h^2=x^2　…(1)
直角三角形ACH’について同様に　　　　 　(a+c)^2+h^2=y^2 …(2)
直角三角形BCH　について同様に　　　　　h^2=b^2-c^2 　 …(３)

(1)(2)の両辺同士を加えると　　　2(a^2+c^2+h^2)=x^2+y^2　
これに(３)を代入すると　　　　　2(a^2+b^2)=x^2+y^2
したがってAB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2　　

平行四辺形に対して4辺の長さの2乗和は対角線の長さの2乗和に等しい。

お礼

ありがとうございます。
分かりやすく、助かりました

回答No.5

tadopikaQ

余弦定理を用いて簡単に証明できます。

平行四辺形をABCDとします。
三角形ABCに於いて、
AC^2 = AB^2+BC^2-2AB*BC*cosB ..... [1]
三角形BCDに於いて、
BD^2 = BC^2+CD^2-2BC*CD*cosC ..... [2]

AB=CD, BC=DA, cosB=-cosC に留意し、[1], [2] の辺々を加えて計算すると、
AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2
を導くことができます。

お礼

すいません補足コメントに場所間違えました。
有難うございます

補足

助かりました。有難うございます

回答No.4

staratras

No.3です。「CH=DH'=cとする。」 が抜けていました、失礼しました。

回答No.2

bran111

三角形の中線定理を使います。

「⊿ABCにおいてBCの中点をＭとすると中線定理

AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

が成り立つ。証明は簡単です。教科書に必ず出ています。面倒ならWebで探してください。」

平行四辺形ABCDにおいて対角線の交点をＮとすると

AB=CD=a

AD=BC=b

BN=DN=c/2

AN=CN=d/2

であって、⊿ABDにおいてＮはBDの中点になっているので、中線定理を適用して

AB^2+AD^2=2(AN^2+BN^2)

a,b,c,dで表せば

a^2+b^2=2[(c/2)^2+(d/2)^2]=c^2/2+d^2/2

ゆえに

2a^2+2b^2=c^2+d^2

書き直すと

AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2

これは

「平行四辺形に対して4辺の長さの2乗和は対角線の長さの2乗和に等しい」

事を示している。

お礼

有難うございます。
助かりました

回答No.1

nakaken88

xy平面上で直接長さを計算すれば示せます。

平行四辺形を平行移動すればある1点の座標を(0,0)とすることができます。平行四辺形の残りの頂点は、(a,b),(c,d),(a+c,b+d)とかけるので、三平方の定理を使って、直接長さを計算してみましょう。

お礼

有難うございます