図形の問題（中学生レベル）

質問

平行四辺形の点Eは辺ABの中点、点Fは辺BC上の点で、辺EFと辺ACは平行である。
また、点Gは対角線ACと線分DEとの交点、点Hは対角線AC上の点で、辺EGとFHは平行である。

このとき、三角形DGCの面積は三角形HFCの面積の何倍か求めよ。

以上の問いの解法を教えてください。

回答No.3

nattocurry · ベストアンサー

相似を利用する問題ですね。

EがABの中点で、AC//EFなので、FはBCの中点。

△HFCと△GDAに注目すると、
AGとCHは同一直線上、AD//CF、GD//HF、なので、
△HFC∽△GDA
AC＝BC＝2FCなので、△HFCと△GDAの相似比は1：2であり、面積比は1：4になる。
△GDA＝△HFC×4　・・・(1)

△DGCと△EGAに注目すると、
・・・同様に考えて・・・
△DGC＝△EGA×4　・・・(2)

△EGAと△GDAに注目すると、
△DGCと△EGAの相似比が2：1であるから、GD：GE＝2：1
よって、
△GDA＝△EGA×2　・・・(3)

(2)と(3)から、
△DGC＝△GDA×2　・・・(4)

(1)と(4)から、
△DGC＝△HFC×8

△DGCの面積は、△HFCの面積の8倍。

お礼

お礼が遅くなりました。
ありがとうございました。

回答No.2

ygiyurc

はじめまして、中3男子です。
あってるかはわかりませんが…一応回答させていただきます。

まず、錯覚とか対頂角で△ＡＥＧ∽△ＣＤＧ。
それが1：2というのはわかりますね?
ここで、辺ＡＢ，辺ＤＣと平行な、Ｇを通る補助線を引いてください。
すると、仮に辺ＡＤと補助線の接点をＸ，辺ＢＣとの接点をＹとします。
△ＡＧＸと△ＣＧＹが相似です。
先の△ＡＥＧ∽△ＣＤＧが1：2より、
ＡＧ：ＣＧが1：2だから、
△ＡＧＸと△ＣＧＹも1：2。
よって、ＧＸ：ＧＹも1：2。
1：2だから、全部で3。
つまり、ＸＧ：ＸＹが1：3。
したがって、ＸＧ：ＤＣも1：3です。
ここで、辺ＡＤの長さを(2)とします。
すると、△ＡＤＧの面積は
(2)×1÷2＝(1)。
また、△ＡＤＣは
(2)×3÷2＝(3)。
△ＤＣＧ＝△ＡＤＣ－△ＡＤＧだから、
(2)となります。
ここで、△ＡＤＧ∽△ＣＦＨを求めてください。
比は、ＥＦ//ＡＣより、ＦがＢＣの中点だから2：1となります。
よって、面積比は4：１です。
つまり、△ＡＤＧの面積が(1)だから、
それの4分の1で、4分の(1)となります。

これで、比を使ってください。
△ＣＤＧと△ＣＦＨは(2)：4分の(1)です。
両方に4をかけて、(8)：(1)

「答え、8倍」

ではないでしょうか?

雑なのでわかりにくかったらすみません。
不明な点がありましたらお礼か何かで申し付けてください。
改めて回答します。

お礼

お礼が遅くなりました。
ありがとうございました。

回答No.1

GOCHISOUda

長さが与えられていない面積の問題は比で考えるのは宜しいですね。

(1)三角形ＨＦＣと三角形ＧＤＡは相似でその相似比は１：２
よって面積比は１：４

(2)三角形ＤＧＣと三角形ＥＧＡは相似でその相似比は１：２

(3)ＡＧ：ＧＣ＝１：２から三角形ＧＤＡと三角形ＤＧＣの面積比は１：２

(1)(3)から８倍

お礼

お礼が遅くなりました。
わかりやすかったです。
ありがとうございました。