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図形の問題(中学生レベル)

平行四辺形の点Eは辺ABの中点、点Fは辺BC上の点で、辺EFと辺ACは平行である。 また、点Gは対角線ACと線分DEとの交点、点Hは対角線AC上の点で、辺EGとFHは平行である。 このとき、三角形DGCの面積は三角形HFCの面積の何倍か求めよ。 以上の問いの解法を教えてください。

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相似を利用する問題ですね。 EがABの中点で、AC//EFなので、FはBCの中点。 △HFCと△GDAに注目すると、 AGとCHは同一直線上、AD//CF、GD//HF、なので、 △HFC∽△GDA AC=BC=2FCなので、△HFCと△GDAの相似比は1:2であり、面積比は1:4になる。 △GDA=△HFC×4 ・・・(1) △DGCと△EGAに注目すると、 ・・・同様に考えて・・・ △DGC=△EGA×4 ・・・(2) △EGAと△GDAに注目すると、 △DGCと△EGAの相似比が2:1であるから、GD:GE=2:1 よって、 △GDA=△EGA×2 ・・・(3) (2)と(3)から、 △DGC=△GDA×2 ・・・(4) (1)と(4)から、 △DGC=△HFC×8 △DGCの面積は、△HFCの面積の8倍。

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  • 回答No.2
  • ygiyurc
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はじめまして、中3男子です。 あってるかはわかりませんが…一応回答させていただきます。 まず、錯覚とか対頂角で△AEG∽△CDG。 それが1:2というのはわかりますね? ここで、辺AB,辺DCと平行な、Gを通る補助線を引いてください。 すると、仮に辺ADと補助線の接点をX,辺BCとの接点をYとします。 △AGXと△CGYが相似です。 先の△AEG∽△CDGが1:2より、 AG:CGが1:2だから、 △AGXと△CGYも1:2。 よって、GX:GYも1:2。 1:2だから、全部で3。 つまり、XG:XYが1:3。 したがって、XG:DCも1:3です。 ここで、辺ADの長さを(2)とします。 すると、△ADGの面積は (2)×1÷2=(1)。 また、△ADCは (2)×3÷2=(3)。 △DCG=△ADC-△ADGだから、 (2)となります。 ここで、△ADG∽△CFHを求めてください。 比は、EF//ACより、FがBCの中点だから2:1となります。 よって、面積比は4:1です。 つまり、△ADGの面積が(1)だから、 それの4分の1で、4分の(1)となります。 これで、比を使ってください。 △CDGと△CFHは(2):4分の(1)です。 両方に4をかけて、(8):(1) 「答え、8倍」 ではないでしょうか? 雑なのでわかりにくかったらすみません。 不明な点がありましたらお礼か何かで申し付けてください。 改めて回答します。

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質問者からのお礼

お礼が遅くなりました。 ありがとうございました。

  • 回答No.1

長さが与えられていない面積の問題は比で考えるのは宜しいですね。 (1)三角形HFCと三角形GDAは相似でその相似比は1:2 よって面積比は1:4 (2)三角形DGCと三角形EGAは相似でその相似比は1:2 (3)AG:GC=1:2から三角形GDAと三角形DGCの面積比は1:2 (1)(3)から8倍

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質問者からのお礼

お礼が遅くなりました。 わかりやすかったです。 ありがとうございました。

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