中学数学図形の問題です

質問

教えて下さい。
一辺の長さが12の立方体がある。辺AB、辺ADの中点をそれぞれM、Nとする。

(1)△EMNの面積を求めよ
(2)立方体の対角線AGと△EMNとの交点をIとするとき、線分AIの長さを求めよ

回答No.2

178-tall

>一辺の長さが12の立方体がある。辺AB、辺ADの中点をそれぞれM、Nとする。

「直角」だらけの図形ゆえ「ピタゴラス」で片付きそう。

>(1)△EMNの面積を求めよ

寸法の割り出し、から。
　MN 長さ = 6*√2
　EM 長さ = √(12^2 + 6^2) = √(5*6^2) = 6√5
　△MEN 底辺から E までの高さ (h) = √{ (EM^2-(MN/2)^2 }
　　= √(5*6^2 - 6^2/2) = √{ (9/2)*6^2 } = 18/√2
　△MEN 面積 = h*MN/2 = (18/√2)*(6/√2) = 18*6/2 = 54

>(2)立方体の対角線AGと△EMNとの交点をIとするとき、線分AIの長さを求めよ

長方形 ACGE は、高さ 12、幅 12*√2 。
直線分 AG の傾斜は -12/(12*√2) = -1/√2　　…(1)
直線 EI が立方体上面と交わる点 P と A との距離は 6/√2 。
直線 EI の傾斜は 12/(6/√2) = √2　　…(2)
(直線分 AG と EI の傾斜 (1), (2) の積が -1 ゆえ、二つの直線は直交)

長方形 ACGE の E を原点、EG を x 軸、EG を y 軸に見立てて上記 2 直線を表現。
　(1)：　y = (-1/√2)x + 12
　(2)：　y = √2x
連立解は、
　(x, y) = (4*√2, 8)
点 A (0, 12) からの距離 d は、
　d = √{ (16*2)+4^2 } = √(16*3) = 4*√(3)

回答No.1

asuncion

(1)△EMNは、EM = ENの二等辺三角形。
△AMNは直角三角形。三平方の定理より、MN^2 = AM^2 + AN^2 = 36 + 36 = 72
MN > 0よりMN = 6√2
△AEMは直角三角形。三平方の定理より、EM^2 = AE^2 + AM^2 = 144 + 36 = 180
EからMNに垂線ESを引く。△EMSは直角三角形。SはMNの中点。
△EMSで、三平方の定理より、EM^2 = ES^2 + MS^2 = ES^2 + (3√2)^2 = ES^2 + 18 = 180
ES^2 = 162, ES > 0よりES = 9√2
∴△EMN = (6√2) × (9√2) ÷ 2 = 54

(2)三角すいA-EMNの体積Vを求める。
V = 6 × 6 ÷ 2 × 12 ÷ 3 = 72
AIは、三角すいA-EMNの底面を△EMNとみなしたときの高さに相当する。
∴V = 54 × AI ÷ 3 = 72より、AI = 4