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中学数学図形の問題です

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  • 質問No.9577798
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お礼率 8% (5/57)

教えてください
一辺の長さが4√3cmの正四面体OABCがある
線分BCの中点をDとして、この立方体を3点O、A、Dを通る平面で切るとき、断面の
面積を求めよ
よろしくお願いします

回答 (全6件)

  • 回答No.6

ベストアンサー率 43% (703/1607)

△OBC にて、底辺 BC の中点 D から点 O までの高さは?
 「ピタゴラス」により、
  √{ (4√3)^2 - (2√3)^2 } = √(12*3) = 6

△OAD の面積は?
 底辺が AO = 4√3、2 側辺が 6 の二等辺三角形。
 底辺から頂点までの高さ h は、
  √{ 6^2 - (2√3)^2 } = √(24) = 2√(3)
 よって、求める面積は、
  { 4√(3) * 2√(3) }/2 = 24/2 = 12 (cm^2)
  
感謝経済
  • 回答No.5

ベストアンサー率 43% (3383/7759)

他カテゴリのカテゴリマスター
回答No.1の追加です。
S=4√3×2√6÷2=8√18÷2=4√18
      ↓
S=4√3×2√6÷2=8√18÷2=4√18=4√(9×2)=4×3√2=12√2

∴△OADの面積は4√18平方センチメートルになります。
      ↓
∴△OADの面積は12√2平方センチメートルになります。

従って、回答No. 2と同じ結果です。
三角形の面積は「底辺×高さ÷2」ですが、三辺の内どれを底辺にするかは任意です。
高さを算出し易い方法で計算すれば良いでしょう。(正解が1つではない)
  • 回答No.4

ベストアンサー率 39% (858/2153)

あまり難しく考える必要はありません。
この正四面体の面はすべて1辺の長さが4√3の正三角形です。
下の図の左側の三角形ABDは角BDAが直角になるので、三平方の定理から
BD^2+AD^2=AB^2 だから (2√3)^2+AD^2=(4√3)^2
12+AD^2=48 AD^2=36 AD=6

また同様にOD=6 となるので、面積を求める断面は
DO=DA=6、OA=4√3の2等辺三角形DOAです。(下の図右側)
頂点Dから底辺OAに垂線の足DHを下ろすと、HはOAの中点になり
直角三角形ODHに三平方の定理を適用して、
OH^2+DH^2=OD^2 だから、(2√3)^2+DH^2=6^2
12+DH^2=36 DH^2=24 DH=√24=2√6

したがって三角形DOAの面積は、4√3×2√6÷2=4√18=4√(3^2・2)=12√2
  • 回答No.3

ベストアンサー率 40% (61/149)

No.2です。以下訂正お願いします。

(誤)
『(1)より△GAB = △GBC = △GCAだから
△GCA = (1/3)×△ABC = (1/3)×12√3 = 4√3(cm^2)』

(正)
『(1)より△GAB = △GBC = △GCA = (1/3)×△ABCだから
△GBC = (1/3)×12√3 = 4√3(cm^2)』
  • 回答No.2

ベストアンサー率 40% (61/149)

点Oから底面△ABCに垂線を下ろし、
△ABCとの交点を点Gとする。

このとき、
点Gは△ABCを三等分する点となる(重心)。
つまり
△GAB ≡ △GBC ≡ △GCA・・・(1)

また、OG⊥GD かつ GD⊥BC・・・(2)

ここでAD⊥BCなので、
△ABDについて三平方の定理を用いて

AD = √{(AB)^2 - (BD)^2}
= √{(AB)^2 - (BC/2)^2}
= √[(4√3)^2 - {(4√3)/2}^2]
= 6(cm)

よって
△ABC = (1/2)×BC×AD = (1/2)×(4√3)×6 = 12√3(cm^2)

(1)より△GAB = △GBC = △GCAだから
△GCA = (1/3)×△ABC = (1/3)×12√3 = 4√3(cm^2)

(2)より
△GBC = (1/2)×BC×GDなので
GD = (2×△GBC)/BC = (2×4√3)/(4√3) = 2(cm)

ここで
OD = AD = 6(cm)
であるから、△OGDについて三平方の定理を用いて
OG = √{(OD)^2 - (GD)^2} = √{6^2 - 2^2} = 4√2(cm)

∴△OAD = (1/2)×AD×OG = (1/2)×6×4√2 = 12√2(cm^2)
  • 回答No.1

ベストアンサー率 43% (3383/7759)

他カテゴリのカテゴリマスター
添付画像のA点から辺BCへ垂線を描き交点をDとします。
D点から辺OAへ垂線を描き交点をEとします。
正4面体であることからAD=ODであることは理解できると思います。
同様にBD=DCであることも理解できると思います。
△ABCは正三角形であることも理解できるはずです。
△ABDは直角三角形になるのでピタゴラスの定理から線分ADを求めることができます。
AD=√(4√3)^2-((4√3)/2)^2)=√(4√3)^2-(2√3)^2)=√(16*3-4*3)=√36=6
△OADは2等辺三角形なのでDから線分OAへ垂線を立てると△ADEは直角三角形です。
AE=EOであり、OAの2分の1の2√3になります。
線分DEはピタゴラスの定理で求めると次のようになります。
DE=√(6^2-(2√3)^2)=√(36-12)=√24=2√6
△OADの面積(S)はAO*DE/2であり次の数式になります
S=4√3×2√6÷2=8√18÷2=4√18
∴△OADの面積は4√18平方センチメートルになります。
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