合成関数の積分方法

質問

久しぶりの積分でかなり忘れてるのでよろしくお願いします．
I = ∮e^(-x^2)dx,D : 0≦x≦1についてですが，
-1/2［e^(x^2)］D=(1-e)/2ってできますっけ？
最初置換積分で解こうとして，
x^2=tと置き，x=√t(∵x≧0), dx = 1／(2√t)dt, 0≦t≦1より
I = ∮(e^(-t)・1/2√t)dtとなったんですが，部分積分法で解けませんでした．

回答No.8

info22_ · ベストアンサー

No.3です。

ANo.3の補足質問について
>d(r^2/2)になってるんですがどういう変形かわかりますか？

d(r^2/2)/dr=2r/2=r

drを掛ければ

d(r^2/2)=rdr

となりませんか?
微分・積分では、こういった操作をよくします。

[例]
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
dy/dt=(dy/du)(du/dt)
dy/dx=xy ⇔ dy/y=xdx
cos(t)dt=d(sin(t)) ⇔ d(sin(t))/dt=cos(t)
d(t^2)=2tdt ⇔ d(t^2)/dt=2t
など。

I=∫[0→1] e^(-x^2)dx=[{√(π)/2}erf(x)][0→1]
={√(π)/2}{erf(1)-erf(0)}
={√(π)/2}erf(1)

[注]誤差関数erf(x)の定義(参考URL参照)

　erf(x)=(2/√π)∫[0→x] e^(-t^2) dt

この関数は特殊関数ですが、数式ソフトやエクセル、Google電卓、その他に組み込まれていますのでerf(x)の関数値はすぐ計算できます。
→　erf(1)=0.84270079295…
なので、elf(1)は　√2やsin(23°）やlog(3)などと同じように扱えばいいかと思います。
ただし、高校レベルの数学ではerf(x)は習わないので、
　I=∫[0→1] e^(-x^2)dx
の積分はできない。収束はするので数値計算は可能として扱うことになるかと思います。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%A4%E5%B7%AE%E9%96%A2%E6%95%B0

回答No.7

masics

簡単にいえば，
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/gaussIntegral/
の式変形の途中で，積分範囲がまいなす無限から無限であるからできる変が含まれているからです．

お礼

あ！近似値のことですかね
確かに極限値は近似演算だと思うので正確な値は出ないと思います．
ありがとうございました．

回答No.6

masics

質問者様が今解こうとしている問題は答えが正確にはでないので．その答えは間違ってしまっています．
なぜだかも解説したほうがいいですか？

お礼

はい、よろしくお願いします。その方が助かります。

回答No.5

masics

補足ですが，リンク先をがんばって理解したとしても，まだ解こうとしている積分はできたことにはなりません．
というのも積分範囲が違いますからね．

参考URLの数値計算のフォーマットを使って値を計算してはどうですか？

数値計算方法から学ぶのは本をみたほうが早いように思います．

参考URL：

http://keisan.casio.jp/has10/Menu.cgi?path=08500000.%90%94%92l%89%F0%90%CD%2F07000000.%90%94%92l%90%CF%95%AA

補足

さっきのURL参考にしながら解いてみたんですが答えあってますかね？
この参考URLのやつは良く使い方がわかりませんでした．
I = √｛ π/2(1-(1/e^2) ) ｝

回答No.4

masics

えっと(5)の話ですが

rexp[-r^2]

の積分ができるかってことなんですが，できますか？
リンク先の人は独特なやり方でやっているので，すこしわかりにくく感じるかもしれません．

exp[-r^2]の微分は -2r exp[-r^2] だから...って考えるとわかりませんか？

お礼

わかりました！確かにあっちではわかりませんでしたけど，指数部を積分するとrが消えて，積分できました．ありがとうございました．

回答No.3

info22_

「∮」は周回積分記号で特種な積分にしか使いません。普通の積分記号「∫」を使わないといけません。

ガウス関数の積分に属し、I = ∫e^(-x^2)dxの不定積分はできません。
しかし、特殊関数（誤差関数）を使えば積分を表現できます。
定積分なら、数値積分を使えば積分値の近似値は求めることができます。

したがって、置換積分、部分積分法では積分は不可能です。

なお、次の定積分だけは解析的に求めることができます。
∫[-∞～∞] e^(-x^2) dx=√π
∫[0～∞] e^(-x^2) dx=(√π)/2

参考URL：

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/gaussIntegral/

お礼

ありがとうございます．なぜかmacのパソコンではインテグラルの変換がそうなってしますのです．形がちょっと違うなとは思ったのですが急ぎでしたのですみません．
ちょっとこちらのURLを参照してみます．

補足

URL先なんですけど，（５）の一行目→二行目に移るときrdrがd(r^2/2)になってるんですがどういう変形かわかりますか？
ちょっとここがわかんないです．

回答No.2

masics

こっちのサイトのほうがわかりやすいかもしれません．
大学の数学をすこし知らないと読めないと思います．

参考URL：

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/gaussIntegral/

お礼

すみません．こちらを参照してみます．ありがとうございます．

補足

重積分も基本はできてると思うのでなんとか読める感じなんですが，（５）の一行目→二行目に移るときrdrがd(r^2/2)になってるんですがどういう変形かわかりますか？これちょっとわかんないです．

回答No.1

masics

残念ながらこの計算は解析解がありません．（手計算で解けません．）

置換積分も部分積分も通用しません．
参考URLに関連したサイトをのせておきます．

どうしても答えがしりたいですか？

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ガウス積分

お礼

ありがとうございます．特殊な関数でしたか．
解けないわけです．大学でも数学をやっていたのですが，大学ではほとんど勉強をしませんでしたので完璧に忘れてます．
もう少しわかりやすいサイトだと助かります．Wikipediaはいつも小難しく書かれているので，どうも苦手です．
もしよければ解法を教えてください．