フーリエ変換の途中の積分方法について
- フーリエ変換の途中に出てきた積分方法について質問があります。
- 偶関数と奇関数のフーリエ変換の途中にある積分方法について説明します。
- 質問はE.4とE.5の変換についてです。1.－1/√(2π)∫(from 0 to ∞)F(－t)e^(iωt)d（－t）= －1/√(2π)∫(from 0 to ∞)F(t)e^(iωt)d（t）なのでしょうか｛f(x)=f(-x)より｝？ 2．もしそうならば、E.5の[e^(iωt) + e^(-iωt)]は[-e^(iωt) + e^(-iωt)]ではないでしょうか（係数－1/√(2π)より）？
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フーリエ変換の途中の積分方法について
こんにちは、フーリエ変換の途中に出てきた積分方法について質問があります。 偶関数と奇関数のフーリエ変換の途中にある積分方法についてですが、 f(t)=1/√(2π)∫(from -∞ to ∞)F(ω)e^(iωt)dωと 偶関数 f(x)=f(-x) の時 F(ω)＝√(2/π)∫(from 0 to ∞)f(t)cos(ωt)dtと以下の方法成るそうです。 F(ω)＝1/√(2π)∫(from -∞ to ∞)F(t)e^(iωt)dt.....E.1 ＝1/√(2π)∫(from -∞ to 0)F(t)e^(iωt)dt + 1/√(2π)∫(from 0 to ∞)F(t)e^(iωt)dt.....E.2 ＝－1/√(2π)∫(from 0 to -∞)F(t)e^(iωt)dt + 1/√(2π)∫(from 0 to ∞)F(t)e^(iωt)dt.....E.3(左辺のlimitを交換） ＝－1/√(2π)∫(from 0 to ∞)F(－t)e^(iωt)d（－t） + 1/√(2π)∫(from 0 to ∞)F(t)e^(iωt)dt.....E.4(左辺のｔを（－ｔ）に交換） ＝1/√(2π)∫(from 0 to ∞)F(t)[e^(iωt) + e^(-iωt)]dt.....E.5 ＝√(2/π)∫(from 0 to ∞)f(t)cos(ωt)dt.....E.6(求める解） 質問はE.4とE.5の変換についてです。1.－1/√(2π)∫(from 0 to ∞)F(－t)e^(iωt)d（－t）= －1/√(2π)∫(from 0 to ∞)F(t)e^(iωt)d（t）なのでしょうか｛f(x)=f(-x)より｝？ 2．もしそうならば、E.5の[e^(iωt) + e^(-iωt)]は[-e^(iωt) + e^(-iωt)]ではないでしょうか（係数－1/√(2π)より）？ 式が見難いでしょうがもし宜しければお答えください。
- wachacha2
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＞1.E.4の左辺は ＞＝－{1/√(2π)}∫(from 0 to ∞)f(-t)e^(iωt)d（-t）－＞ ＞－{1/√(2π)}∫(from 0 to ∞)f(t)e^(-iωt)dtなのでしょうか｛ ＞f(x)=f(-x)より｝？ 何を勘違いされているのですか？ f(-t)をf(t)で置き換えるだけです。 「e^(iωt)d（-t)」のtは置き換えていけません。 e^(iωt)d（-t)＝－e^(iωt)dt と負符号が出てきて積分の前の負符号と打ち消して正符号になります。 遇関数の性質はf(t)のtにしか及びません。 よく考えてみてください。
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- info22
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多重ミスがあります。 定義式自体が間違っています。 F(t)は間違いです。F(ω)のωをtで置換したもので、f(t)とは別物 >E.1 F(ω)＝{1/√(2π)}∫(from -∞ to ∞)f(t)e^(-iωt)dt >E.2 ＝{1/√(2π)}∫(from -∞ to 0)f(t)e^(-iωt)dt + {1/√(2π)}∫(from 0 to ∞)f(t)e^(-iωt)dt >E.3 ＝－{1/√(2π)}∫(from 0 to -∞)f(t)e^(-iωt)dt + {1/√(2π)}∫(from 0 to ∞)f(t)e^(-iωt)dt >E.4 ＝－{1/√(2π)}∫(from 0 to ∞)f(-t)e^(iωt)d（-t） + 1/√(2π)∫(from 0 to ∞)f(t)e^(-iωt)dt >E.5 ＝1/√(2π)∫(from 0 to ∞)f(t)[e^(iωt) + e^(-iωt)]dt 以下の正しくない式の変形についての質問はナンセンスです。上記の訂正した式を参考にして下さい。 >質問はE.4とE.5の変換についてです。 補足質問は訂正した解答を書いてからして下さい。
補足
回答を有難うございます。 表記ミス申し訳ございません、そして訂正を有難うございました。 しかしやはり 本文の質問が解りません。 どうしてE.4－＞E.5に成るのでしょうか？ 1.E.4の左辺は ＝－{1/√(2π)}∫(from 0 to ∞)f(-t)e^(iωt)d（-t）－＞ －{1/√(2π)}∫(from 0 to ∞)f(t)e^(-iωt)dtなのでしょうか｛f(x)=f(-x)より｝？ 2．もしそうならば、E.5の[e^(iωt) + e^(-iωt)]は[-e^(iωt) + e^(-iωt)]ではないでしょうか（E.4の係数－{1/√(2π)}のマイナスはどこに？ 宜しければお願いします。
- guuman
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ωを使うから2・πが出てきて式が長く汚くなる fをつかえば変な係数は出てこない 例えば x(t)=∫[-∞<f<∞]df・X(f)・exp(j・2・π・f・t) とか X(f)=∫[-∞<t<∞]dt・x(t)・exp(-j・2・π・f・t) とかのようにきれいになる 回答者の苦労を回避するため質問をきれいに書き直して補足に書け
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