フーリエ変換で質問です

質問

関数f(t)のフーリエ変換を
F(u)＝∫[∞～－∞]f(ｔ)×e^(-iut)dt
とする。
次の関数のフーリエ変換を求めよ

ｆ（ｔ）＝{　-|t|+1 (|t|≦２)
　　　　　　０　　 (|t|>2)

という問題なんですが、

[]:積分区間　u=ω　として

F(ｔ)＝1/(√2π)∫[2～0](-t+2)(e^(-jut)dt)+1/(√2π)∫[0～-2](t+2)(e^(-jut)dt)

と計算して、答えが

(e^-2iu+e^2iu)/iu

となったのですが、とき方はあってますか？

回答No.2

info22

定義式
http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html
http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/OWENS/LECT4/node2.html
など。
工学分野では次の定義式をよく使いますね。
F(f)＝∫[-∞,∞] f(ｔ)e^(-i2πft)dt
（時間の変数tと周波数の変数fの対応関係が分かり易い）

> 関数f(t)のフーリエ変換を
> F(u)＝∫[-∞,∞]f(ｔ)×e^(-iut)dt
質問者さんのこの定義を採用するとすれば以下のようになります。

> u=ω　として
u=ω=2πf　として

> F(ｔ)＝1/(√2π)∫[2～0](-t+2)(e^(-jut)dt)+1/(√2π)∫[0～-2](t+2)(e^(-jut)dt)
正しい計算式は
F(ω)=∫[0,2](-t+2)(e^(-iωt)dt)+∫[-2,0](t+2)(e^(-iωt)dt)　…(A)

> (e^(-2iu)+e^(2iu))/iu ⇒ 2 sin(2u)/u　と変形可。
これは正しく無いですね。
> とき方はあってますか？
解き方といっても、定義式に従って単に計算間違いをしないように
ひたすら計算するだけ。

#!さんも指摘されているように定義式がチャンポンになっていること（「1/(√2π)」が不要）、
他に、
細かなミスや計算間違いがありますね。
　F(t)はF(ω）またはF(u),虚数単位「i」か「j」で統一。
　u=ωとおいたならωで計算を統一した方が良い。
計算間違いは途中計算が書いてないのでどこで間違ったか不明。

(A)を計算すると
F(ω)=2{(1-cos(2ω))/ω^2}-2{sin(2ω)/ω}
となるはず。

回答No.1

arrysthmia

計算問題ですから、解き方があってるも何もないと思いますが…
フーリエ変換の定義に f() を代入して計算するだけです。

何を「フーリエ変換」と呼ぶかは、教科書によって、微妙に食い違っています。
そのとき話題にしている「フーリエ変換」が、どの流儀ものか、意識しておく
ことが必要です。
[1]　F(u) = ∫ f(t)・e^(-iut) dt　
[2]　F(u) = (1/√(2π)) ∫ f(t)・e^(-iut) dt　
[3]　F(u) = ∫ f(t)・e^(-2πiut) dt　
etc.

問題文で [1] の定義を採用しているようですから、
[2] の式で計算しては、全く別のものを求めたことになります。
F(u) = ∫[2～0] (-t + 1)・e^(-iut)dt　+　∫[0～-2] (t + 1)・e^(-iut)dt
とすべきでしょう。

蛇足：
その ∫[a～b] … dt という書き方は、a と b の位置が普通とは逆だと思います。