正規分布の式をフーリエ変換する際の解法

質問

現在フーリエ変換を研究のために再度勉強しているのですが、以下の式を解く過程でどうしても詰まってしまいます。

∫(-∞,∞)　1/(√(2π)σ)×exp(-((t-μ)^2)/(2σ^2))　×　 e^(-jωt) dt
(t以外の文字はすべて定数)

要するに正規分布の確率密度関数式をフーリエ変換する際の式です。
インテグラル右の"1/"から"))"までが確率密度関数、それ以外はフーリエ変換式です。
確率密度関数についてはこちらのほうが見やすいと思います↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83

どこで詰まっているかといいますと、式が分かっておるのでフーリエ変換云々ではなく積分段階で詰まっています。

勉強不足が目に見えているのですが、少しばかり急を要することで…にっちもさっちも行かず質問させていただきました。

どなたかご教授お願いします。。

回答No.4

hitokotonusi

方法1：
　複素積分のコーシーの積分定理を利用して、実軸上の積分になおす。
問題の積分(フーリエ変換)はガウス平面上では虚数部一定の実軸に平行な直線上の積分。
また、x→±∞ではガウス関数の力により虚数部の値によらず0になる。

方法2：
　この積分(フーリエ変換)をF(ω)とおき、ωで微分。
その結果をtで部分積分すると再びF(ω)がでてきて
Ｆ(ω)の微分方程式になるので、これを解く。

回答No.3

m0r1_2006

exp(-x^2/2) の不定積分は計算できないので，無駄な努力です．
この不定積分で
Error function とか言う名前の特殊関数の定義します．

exp(-x^2/2) と exp(-(x-jw)^2) , j^2=-1, w は任意の実数
の x が [-Inf, Inf] までの定積分は計算できて，
sqrt(pi) になります．

変数変換して，この定積分の形に変形してください．

回答No.2

inara1

間違えました。
　　　∫[ -∞,∞ ] 1/σ/√( 2*π)*exp{ -( t - μ )^2/( 2*σ^2) }*e^(-jωt) dt
　　　= exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 - j*ω*μ }
　　　= exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 }*cos( ω*μ ) - j*exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 }*sin( ω*μ )
です。

回答No.1

inara1

結果だけでいいのなら
　　　∫[ -∞,∞ ] 1/σ/√( 2*π)*exp{ -( t - μ )^2/( 2*σ^2) }*e^(-jωt) dt
　　　= exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 + j*ω*μ }
　　　= exp{ -(1/2)*(σ*ω) }*cos( ω*μ ) + j*exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 }*sin( ω*μ )
になります。