exp(-t/T)cos(ωt)のフーリエ変換について教えてください。

質問

フーリエ変換について質問です。
exp(-t/T)cos(ωt)のフーリエ変換に行き詰っています。積分区間は-∞→∞で
∫exp(-t/T)cos(ωt)exp(-iωt)dt (T,ωは定数）としてexp(-iωt)=cos(ωt)-isin(ωt)を利用して
∫exp(-t/T){cos(ωt)}^2dt-i∫exp(-t/T)cos(ωt)sin(ωt)dt
=1/2[∫exp(-t/T){cos(2ωt)+1}dt-i∫exp(-t/T)sin(2ωt)dt]
と変形し、それぞれの項について部分積分を試みたのですが、最終的に発散してしまい答えにたどり着きません。

また、答えは実数部が吸収型、虚数部が分散型のピークのグラフが描けるはずなので、どこかで超関数を用いなければならないと思うのですが、どこで使うのかも分かりません。
どなたか、よろしくお願い致します。

回答No.7

hitokotonusi · ベストアンサー

たびたびすいません

もう一つ#5の訂正です

＞G(s) = (π/2){δ(s-ω)+δ(s+ω)}

は

G(s) = π{δ(s-ω)+δ(s+ω)}

が正しいです。以後、1/2がすべて余分で最終結果は

= (1/2) { T/[1+i (s-ω) T] + T/[1+i (s+ω) T]

になります。

お礼

お礼が遅くなってしまい大変申し訳ありません。

たたみ込みを使うとこのようにシンプルにできるのですね。勉強になりました。
無事ローレンツ型関数になりました…。

わかりやすい回答をありがとうごさいました！

回答No.8

chiezo2005

#1です。

半区間なら
http://www.crl.nitech.ac.jp/~ida/education/etc/FT/FT.pdf
に載っています。

お礼

お礼が遅くなってしまい大変申し訳ありません。

ありがとうございます、参考にさせていただきました！

回答No.6

hitokotonusi

#5の訂正です

＞∫f(t)g(t) exp(-iωt)dt = F*G(s)/2π

は

∫f(t)g(t) exp(-iｓt)dt = F*G(s)/2π

の間違いです。

回答No.5

hitokotonusi

#2です。

関数f(ｔ), g(t)のフーリエ変換をそれぞれF(s), G(s)とすると

∫f(t)g(t) exp(-iωt)dt = F*G(s)/2π

ということです。今の場合

f(t) = exp(-t/T) (t>=0), 0 (t<0)
g(t) = cos(ωt)

なので、

F(s) = T/(1+isT)
G(s) = (π/2){δ(s-ω)+δ(s+ω)}

より

∫exp(-t/T)cos(ωt)exp(-iωt)dt
= (1/2π)∫T/(1+i s’ T)×(π/2){δ(s-ω-s’)+δ(s+ω-s’)}ds’
= (1/4) { T/[1+i (s-ω) T] + T/[1+i (s+ω) T]

となるはずですが(間違ってたらすいません)。

±ωを中心にしたローレンツ型関数ですね。

回答No.4

info22

#3です。
f(t)=exp(-t/T)cos(wot)(t≧0), f(t)=0(t<0)として
F(w)=∫[-∞,∞]f(t)exp(-jwt)dt
=∫[0,∞]exp(-t/T)cos(wot)exp(-jwt)dt

cos(wot)=(1/2){exp(jwot)+exp(-iwot)}を代入

=(1/2)∫[0,∞]exp(-t/T){exp(-j(w-wo)t)+exp(-j(w+wo)t)dt
=(1/2){G(w-wo)+G(w+wo)}

ここで、
G(w)=∫[0,∞]exp(-t/T)exp(-jwt)dt=T/(1+jwT)

F(w)=(T/2)[1/{1+j(w-wo)T}+1/{1+j(w+wo)T}]
or
=T(1+jwT)/{(1+jwT)^2+(woT)^2}
or
=T(1+jwT)/{1+(wo^2-w^2)T^2+2jwT}

合っているかは自分で確認してみてください。

お礼

お礼が遅くなってしまい大変申し訳ありません。

なるほど、
cos(wot)=(1/2){exp(jwot)+exp(-iwot)}を代入
でオイラーを使うのですね。

とてもわかりやすい回答をありがとうございました！

回答No.3

info22

問題点１）exp(-t/T)cos(ωt)は
積分区間-∞→∞では、t→-∞で発散するので
積分区間-∞→∞でのフーリエ変換は求めることは不可能かと思います。

問題点２）積分区間は-∞→∞で
∫exp(-t/T)cos(ωt)exp(-iωt)dt (T,ωは定数）
この式の「exp(-t/T)cos(ωt)」のω（定数）と
「exp(-iωt)」のωを一緒にして取り扱ってはいけないと思います。

お礼

ご指摘ありがとうございます。

問題点１，２を訂正した上で
区間0→∞、 (T,ω'は定数）で
exp(-y/T)cos{ω'(t-y)}exp(-iωy)dy
=∫exp(-y/T)exp(-iωy)dy
=∫ cos{ω'(t-y)}exp(-iωy)dy

のフーリエ変換を考えてみます。

回答No.2

hitokotonusi

#1さんの言うとおりですが、exp(-t/T)がt=-∞で発散するのでフーリエ変換できないですね。
積分範囲が0→+∞か、関数がexp(-|t|/T)であるかの間違いではないですか?

あと、関数の積のフーリエ変換はフーリエ変換の畳み込みになるので、
それを利用すれば容易に答えにたどり着くかと思いますが。

お礼

回答ありがとうございます。

仰るとおりこれでは発散して当たり前ですね。区間は0→∞でした。

この区間で畳み込み積分を試みたのですが、
∫exp(-y/T)cos{ω'(t-y)}exp(-iωy)dy
=∫exp(-y/T)exp(-iωy)dy
=∫ cos{ω'(t-y)}exp(-iωy)dy

となり、tをどう扱えば良いのか分かりません。もしよろしければ教えて頂けないでしょうか？よろしくお願い致します。

回答No.1

chiezo2005

積分区間は-∞→∞なら発散するのでは?

お礼

回答ありがとうございます。
仰るとおり区間は0→∞でした。失礼致しました。