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cosω0tの周波数スペクトル

教科書で f(t) = cosω0tの周波数スペクトルをフーリエ変換を用いて求めよ という問いがあり、解答には cosω0t = ( e^(jω0t) + e^(-jω0t) ) / 2 より Fc(ω) = ∫cosω0t・e^(-jωt) =(1/2) * { ∫e^(-j(w-ω0)t)dt + ∫e^(-j(w+ω0)t)dt }・・・(a) =(1/2) * { 2πδ(ω-ω0) + 2πδ(ω+ω0) }・・・(b) =π * { δ(ω-ω0) + δ(ω+ω0) } (積分範囲は -∞~∞ です) とありますが、(a)から(b)への式変形がわかりません。 基本的な問題なのだと思いますが、フーリエ変換は数学で少しした程度で、 πやδがなぜ出るかがわかりません。 式が見にくいと思いますがよろしくお願いします。

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wはωのことでしょうか. (a)→(b)はデルタ関数の定義みたいなものです. 多分,教科書の前のほうに書いてあるのではないでしょうか. とりあえず,ω≠ω0のとき0,ω=ω0のとき積分不能(∞)なことはわかると思いますが,ちゃんと説明するのは,超関数とは何かから始まって,けっこう大変だと思います. 例えば,δ(t)をフーリエ変換してみると, Fδ(ω) = ∫δ(t)・e^(-jωt)dt    = 1 なんで,この逆変換を考えて δ(t) = F^-1[Fδ(ω)]    = 1/(2*π)∫1・e^(jωt)dω が成り立つとすれば,δ(t)が偶関数であることから, δ(t) = 1/(2*π)∫e^(-jωt)dω ということになります. とりあえず,こんな説明でわかった気になってればいいんではないでしょうか.

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質問者からのお礼

情報通信の教科書なのでフーリエ変換についてはあまりふれてなく載ってないみたいです。 でも式変形で導けることが分かって納得しました。 ありがとうございました。

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  • 回答No.1

(a)でwが急に出てきていますが、 wの意味がよくわからないので、 補足をお願いします。

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質問者からの補足

(a)式はwではなくωの間違いでした。

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