余弦定理問題の整合性
- 余弦定理を用いて計算すると、∠abの値は50.703520となります。
- 三角関数を勉強している初学者にとって、余弦定理を使用する問題の整合性に関して混乱が生じることがあります。
- 他の三角関数との組み合わせやピタゴラスの定理を用いる場合には、異なる値が得られる場合があるため、注意が必要です。
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余弦定理問題の整合性
三角関数を勉強しています。 （設問例） 三角形の辺の長さは以下の通り。 a=5, b=9, c=7 ∠ab の度数を求める（小数点６桁） 余弦定理により以下の値となります。 ∠ab = 50.703520 ------------ ここまで設問例 ------------ 勉強を始めたばかりの身なので、設問例を題材に他の三角関数を用いて検算をすると三角形としてあり得ないことになり混乱しています。 例えば、正接関数との組み合わせで tan ∠bc・c を計算すると a=5になりません。 それまで学んだ方法で計算すると ∠abは次の値になってしまいます。 ∠ab = 54.462322（小数点６桁） a= 5, c= 7 の場合、ピタゴラスの定理を用いても b = 8.602325 となるはずなのですが初学者なので自信が持てません。 （質問） a,b,c各値は余弦定理を計算する便宜的なもので、三角形としてあり得る形は、a=5, c=7 では b = 8.602325 （小数点６桁） その際の２辺をはさむ角度は、 ∠ab = 54.462322 という理解でよいでしょうか。 あわせて、三角関数の設問では、他の三角関数との整合性に重点を置かないのが慣例的であるということもご存じでしたらご教授ください。
- adamon
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質問者が選んだベストアンサー
ピタゴラスの定理は、三角形に対して a^2+b^2 = c^2 が成立しているわけではありません。 直角三角形に対して a^2+b^2 = c^2 が成立するのです。 このピタゴラスの定理を応用して、三角形にたいして同様の計算ができないか考えた結果出たのが、余弦定理です。 この問題の場合、三角形が直角三角形にならないため、ピタゴラスの定理は利用できません。
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- asuncion
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まあ、あれですね、 「任意の三角形について」適用できる余弦定理と 「直角三角形のときだけ」適用できるピタゴラスの定理とを しっかり区別して考える必要がありそうです。 ＞a,b,c各値は余弦定理を計算する便宜的なもの ＞三角関数の設問では、他の三角関数との整合性に重点を置かないのが慣例的である 意味不明です。
お礼
ご回答ありがとうございます。 直角三角形を想定した計算方法でした。 ご指摘の通り、しっかり区別するように注意して学習していこうと思います。 余弦定理の計算値は自分でも∠ab = 50.703520 になる。しかし、他の方法で解こうとすると矛盾点が出るのはなぜかと思った次第です。 直角三角形しか想定していなかった、無知による私の計算違いでお手数をおかけしました。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
＞それまで学んだ方法で計算すると ∠abは次の値になってしまいます。 ＞ ∠ab = 54.462322（小数点６桁） どんな方法ですか？ ＞a= 5, c= 7 の場合、ピタゴラスの定理を用いても ＞ b = 8.602325 ＞となるはずなのですが初学者なので自信が持てません。 ピタゴラスの定理（別名：三平方の定理）を適用できるのは、 直角三角形です。 今回の、3辺が5, 9, 7の三角形は直角三角形ではありません。 余弦定理 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc・cosA における、A = 90°（つまりcosA = 0）という特別な場合が、 ピタゴラスの定理に相当します。
お礼
詳しい回答ありがとうございます。 直角三角形を想定した計算方法でした。 計算方法は質問に記載している tan ∠bc・c を基にしていました。 atan(7/5)で∠abを求め90を引き∠bcをθとします。 b=tanθ・c の値が5にならず、三平方の定理でも 9じゃないことに気がつき8.602325 で検算すると b=5になり。その他の直角三角形を想定した計算 方法で頭が混乱してしまいました。 自分の間違いに気がつけて勉強になりました。 ありがとうございます。
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
>余弦定理により以下の値となります。 ∠ab = 50.703520 OKです。 ＞例えば、正接関数との組み合わせで tan ∠bc・c を計算すると a=5になりません。 何を言ってるのか意味不明です。 三角関数なんて何世紀も前に完成されたもの、一点の不整合性もありません。 矛盾が出たら計算間違いです。 矛盾が亡くなるまで計算を確認してください。
お礼
早速のご回答ありがとうございます。 余弦定理の定理も計算結果も疑ったわけではなく 何故、余弦の計算方法と直角三角形を想定した計算方法に食い違いがあったのか自分の能力で矛盾点が見つけられませんでした。 ありがとうございました。
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