次の式の積分方法を教えて下さい。

質問

f(x)=(-ax^3+cx)/{(ax^2+bx+c)^2}
が与えられているとき
∫f(x)dx=F(x)+C
となるF(x)の求め方を教えてください。

回答No.2

ramayana

ANo.1 さんのとおり、部分分数分解すればいいです。もう少し砕いて言ってみます。分子分母が何次式だろうと大して違わないので、

f(x) = g(x)/h(x)　　（g(x) と h(x) は多項式）

として f(x) の積分を求めます。なお、h(x) の最高次の係数は、1 とします（たとえ 1 でなかったとしても、g(x) の係数を調整すれば 1 にできる）

複素数の範囲で、h(x) は、次のような 1 次式の積に因数分解できる。

h(x) = (x-α)(x-β)…　　（α、β等は h(x) の根）

すると、部分分数分解により、 f(x) は、次の (1) から (3) のようなタイプの項の和で表される：

(1)　　多項式
(2)　　θ/(x-α)^k　　（θは定数、αはh(x) の根、 k は 2 以上の整数）
(3)　　θ/(x-α)　　（θは定数、αはh(x) の根）

これらの積分は、次のようになる（積分定数を省略する）：

(4)　　多項式の積分は、多項式
(5)　　θ/(x-α)^k の積分は、 (1/(1-k))*( θ/(x-α)^(k-1))
(6)　　θ/(x-α) の積分は、 θlog(x-α)

(4) のタイプと (5) のタイプの和は、有理関数である。まとめて、次のことが言える。

(7)　　f(x) の積分は、有理関数と対数関数の項の和で表される。

あと、蛇足。

とくに、 g(x) と h(x) の係数が実数のときを考える。部分分数分解して、もし θ/(x-α) の項が現れ、αが虚数のとき、必ずτ/(x-β) という項が対で現れる。ただし、τはθの複素共役で、βはαの複素共役とする。すると、

θlog(x-α) + τlog(x-β)
= Re(θ)log(x^2 - 2Re(α)x + |α|^2) + 2Im(θ))arctan(Im(α)/ (x-Re(α)))

だから、(7) は、次のように言い換えることができる：

(8)　　f(x) の積分は、有理関数、実数の対数関数の項、及びアークタンジェント関数の項の和で表される。

回答No.1

Tacosan

ぶぶんぶんすうにばらす

お礼

間違えた…
微分してしまった…
積分しなきゃ…

補足

こういうことですか？

f(x)=(-ax^3+cx)/{(ax^2+bx+c)^2}=p(x)/q(x)
f'(x)={p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}/q(x)^2
={(-3ax^2+c){(ax^2+bx+c)^2}-(-ax^3+cx)(4ax^3+6abx^2+2(2ac+b)x+4bc)}/{(ax^2+bx+c)^4}

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q(x)=ax^4+2abx^3+(2ac+b)x^2+2bcx^2+c^2
q'(x)=4ax^3+6abx^2+2(2ac+b)x+4bc