次の積分・・・

質問

次の積分ってどのようにしてやればいいのですか？

　∫[-∞,∞] cos(bx)/(x^2+a^2) dx

∫[-∞,∞] sin(bx)/(x^2+a^2) dx

a,b>0

　複素積分を使うのでしょうか？

どなた教えてください、よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

a>0
b>0
とすると
{sin(bx)}/(x^2+a^2)
は奇関数だから
∫_{-∞～∞}[{sin(bx)}/(x^2+a^2)]dx=0

R>2a
Γ={z|z=Re^{it},0≦t≦π}
C={x|-R≦x≦R}∪Γ
f(z)=(e^{ibz})/(z^2+a^2)]
とする
f(z)の特異点は±aiで
閉曲線C内にある特異点はaiだけであって1位の極で
Res[f(z),ai]=lim_{z→ai}(z-ai)f(z)=lim_{z→ai}(e^{ibz})/(z+ai)=(e^{-ab})/(2ai)
したがって
∫_{C}f(z)dz=2πi(e^{-ab})/(2ai)=π(e^{-ab})/a
∴
∫_{-R～R}f(x)dx+∫_{Γ}f(z)dz=π(e^{-ab})/a
|∫_{Γ}f(z)dz|
=|∫_{0～π}[(e^{ibRe^{it}})(iRe^{it})/([Re^{it}]^2+a^2)]dt|
≦∫_{0～π}[|e^{ibRe^{it}}||iRe^{it}|/|[Re^{it}]^2+a^2|]dt
=∫_{0～π}[Re^{-bRsint}/|[Re^{it}]^2+a^2|]dt
≦(2/R)∫_{0～π}(e^{-bRsint})dt
=(4/R)∫_{0～π/2}(e^{-bRsint})dt
≦(4/R)∫_{0～π/2}(e^{-(2bR/π)t})dt
=2π(1-e^{-bR})/(bR^2)
∴
lim_{R→∞}|∫_{Γ}f(z)dz|≦lim_{R→∞}2π(1-e^{-bR})/(bR^2)=0
∴
lim_{R→∞}∫_{Γ}f(z)dz=0
∴
∫_{-∞～∞}[{cos(bx)}/(x^2+a^2)[dx+i∫_{-∞～∞}[{sin(bx)}/(x^2+a^2)]dx
=∫_{-∞～∞}f(x)dx=π(e^{-ab})/a

∫_{-∞～∞}[{sin(bx)}/(x^2+a^2)]dx=0
だから
∫_{-∞～∞}[{cos(bx)}/(x^2+a^2)]dx=π(e^{-ab})/a