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積分

次の積分を求めたいのですが、どなたか教えてください。 　∫[-∞,∞] exp(-ipx)/(x^2+a^2)^n dx ただし、a>0 複素積分を用いて求めたいのですが、いまいちやり方が分かりません。 よろしくお願いします。

みんなの回答

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.3

p が実数であれば、その正負は積分の収束性に影響しないし、 上半円でも、下半円でも、好きな方を使って計算することができる。 あるいは、y = -x で置換積分しても構わない。

canaanxxx
質問者

補足

ありがとうございます。 何度も申し訳ないのですが、実際に問題を解いたところ、留数の計算の際n-1回微分ができませんでした。 何か良い方法はないでしょうか？

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

p が実数 n＜0 であれば、x→±∞ のとき 被積分関数が発散するから、積分は収束しない。 計算以前の問題だ。

canaanxxx
質問者

補足

すみません、間違えました。 P<0の場合は、下半円に積分路をとればいいのでしょうか？ そのとき留数定理の公式などは変わりますか？

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

a の符号は、あまり重要ではありませんが、 もし、p が実数で、n≧1 という条件があるのなら… 問題の被積分関数を、-r から r まで実軸沿いに行って |x|=r 上を出発点まで戻る という閉路で複素積分しましょう。 その値は、留数定理を使って容易に求められます。 その閉路積分を、実軸上の積分と円弧上の積分に分けて r→∞ の極限をとると、実軸上の積分の極限が問題の積分に、 円弧上の積分の極限が 0 になることが示せますから、 欲しかった積分の値が判ります。 円弧上の積分の極限が 0 になることは、被積分関数の絶対値の 円弧上での最大値を考えれば、評価することができます。 さあ、やってみよう！

canaanxxx
質問者

補足

Pが実数で、nがn<0の場合はどうなりますか？

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