積分

質問

次の積分を求めたいのですが、どなたか教えてください。

　∫[-∞,∞] exp(-ipx)/(x^2+a^2)^n dx

ただし、a>0

複素積分を用いて求めたいのですが、いまいちやり方が分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

p が実数であれば、その正負は積分の収束性に影響しないし、
上半円でも、下半円でも、好きな方を使って計算することができる。
あるいは、y = -x で置換積分しても構わない。

補足

ありがとうございます。

何度も申し訳ないのですが、実際に問題を解いたところ、留数の計算の際n-1回微分ができませんでした。

何か良い方法はないでしょうか？

回答No.2

alice_44

p が実数 n＜0 であれば、x→±∞ のとき
被積分関数が発散するから、積分は収束しない。
計算以前の問題だ。

補足

すみません、間違えました。

P<0の場合は、下半円に積分路をとればいいのでしょうか？

そのとき留数定理の公式などは変わりますか？

回答No.1

alice_44

a の符号は、あまり重要ではありませんが、
もし、p が実数で、n≧1 という条件があるのなら…

問題の被積分関数を、-r から r まで実軸沿いに行って
|x|=r 上を出発点まで戻る という閉路で複素積分しましょう。
その値は、留数定理を使って容易に求められます。
その閉路積分を、実軸上の積分と円弧上の積分に分けて
r→∞ の極限をとると、実軸上の積分の極限が問題の積分に、
円弧上の積分の極限が 0 になることが示せますから、
欲しかった積分の値が判ります。
円弧上の積分の極限が 0 になることは、被積分関数の絶対値の
円弧上での最大値を考えれば、評価することができます。

さあ、やってみよう！

補足

Pが実数で、nがn<0の場合はどうなりますか？