複素積分

質問

f(x)=1/(2+cos(x))の複素フーリエ係数c_nを求める過程で、
∫_[-π<x<π]exp(-nix)dx/(2+cos(x))を計算したいのですが途中で行き詰まってしまったので指南のほどをお願いします。

∫_[-π<x<π]exp(-nix)dx/(2+cos(x))

=∫_[0<x<2π]exp(-ni(x-π))/(2-cos(x))　　積分範囲の変換

=2i∫_[周回積分]z^(-n)cos(nπ)dz/(z^2-4z+1)　　　　z=exp(ix)と置いて置換

ここからnが奇数と偶数の場合に分けて計算しようと考えたのですが、どうしたらよいかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.5

rnakamra · ベストアンサー

#4の補足に対して

>数列{c_n*exp(inx)}は初項(n=1)が(2-√3)/√3、公比が{(√3-2)exp(ix)}の数列だと考えており

これはn>0についてのことですね。
n<0ではどうなりますでしょうか。公比が異なるはずです。
得られた無限級数の和同士を足し合わせて見ましょう。通分した時の分母をうまく変形すると2+cos(x)が得られるはずです。

計算の際には2-√3とか√3-2とかで計算しないほうがよいでしょう。
#2の方の定義に従い
α=2-√3,β=2+√3
としてα,βのままで計算すると面倒が無くよいでしょう。
α,βは2時方程式 x^2-4x+1=0の2解ですからαβ=1となりますので1/α=βとできますし、計算の途中でα^2が出てくればα^2=4α-1として計算を簡略化できます。

お礼

何度も回答して頂きありがとうございました。

結果的にほぼ0から10まで教えていただいた形になってしまいましたが、実計算上のテクニックも身につけられたので、とても勉強になりました。

心より御礼申し上げます。

回答No.4

rnakamra

>実はこの問題には続きがありまして、
Σ[-∞,∞]c_n*exp(inx)が元の関数f(x)に収束することを計算しなさい。
という問題があります。

これに関してはヒントだけ。
数列{c_n*exp(inx)}はどのような数列でしょうか。それがわかればこの級数の和を求めるのはさほど難しくありません。
変形の際に#2の方が用いたα,βを使い計算し、途中で解と係数の関係を使うと計算しやすいでしょう。
それともうひとつ。
n<0の場合です。これはわざわざ求めなくても、元の関数は実数値を取る関数ですので、c_nとc_(-n)は複素共役です。c_nは実数ですのでc_(-n)=c_n　となります。

補足

こんにちは。

数列{c_n*exp(inx)}は初項(n=1)が(2-√3)/√3、公比が{(√3-2)exp(ix)}の数列だと考えており、確かに計算自体は高校レベルなのですがやはり元の関数f(x)にはなりません。
(6,7回計算し直したのでc_nは間違いないと思います。)

等比級数として認知してしまっているのでrnakamra様が仰る「変形」が何を示しているのかさっぱりわかりません。「同様に解と係数の関係を使う」というのもわかりません。
もう少しヒントをいただけないでしょうか。

回答No.3

rnakamra

#1のものです。

>z=0での留数はいつ使うんだ？(そもそもz=0で分母≠0だから極でないのでは？)

被積分関数にz^(-n)があるではないですか。
z^(-n)=1/z^n
でnは自然数ですから　z=0はn位の極です。ですから、z=0の留数も当然この計算結果に表れます。

と、いうよりもこういうのはもともとの置換で逃げることができる。
z=exp(ix)
としているが、
z=exp(-ix)
とおいてしまえば被積分関数においてz=0が特異点にはならない!!
z=2-√3の留数だけを考えればよいのである。
ただし、周回の向きが逆になるため注意が必要。

お礼

こんにちは。
ご回答ありがとうございます。

補足してから「アホな質問してしまった」なんて思ってたのですが、置換の仕方によって留数から逃げれることもあるのですね。

留数から逃げて計算した結果
c_n=(√3-2)^n/√3と求めることができました。

実はこの問題には続きがありまして、
Σ[-∞,∞]c_n*exp(inx)が元の関数f(x)に収束することを計算しなさい。
という問題があります。

残念ながら私の計算では元の関数に戻すことはできませんでした。
図々しいことは承知していますが、検算の結果も示していただくことはできませんでしょうか。

回答No.2

transcendental

被積分関数の極における留数を計算してみます。
I＝（－２/i）∫[0 to 2pi]ｆ（ｚ）ｄｚ、ｆ（ｚ）＝cos（ｎπ）/｛ｚ＾ｎ・（ｚ＾２－４ｚ＋１）｝
とすると、ｆ（ｚ）の極のうち単位円の内部にあるものはｚ＝０、ｚ＝２－√３（＝α、２＋√３＝βとおく）。
ｎ：oddの場合を考えます。すなわち、ｆ（ｚ）＝１/｛ｚ＾ｎ・（ｚ＾２－４ｚ＋１）｝。

Res（ｆ、α）＝１/｛（αーβ）・α＾ｎ｝、
次に
Res（ｆ、０）を計算するため（Laurent展開によります）、ｆ（ｚ）＝｛－１/（αーβ）｝・（１/ｚ＾ｎ｝｛１/（αーｚ）－１/（βーｚ）｝とし、１/（ｃ－ｚ）＝（１/ｃ）∑[k=0 to ∞]（ｚ/ｃ）＾ｋ、（｜ｚ｜＜｜ｃ｜）を利用すると、
Res（ｆ、０）＝｛１/（２√３）｝・｛１/α＾ｎ－１/β＾ｎ｝
となりました。

ｎ：even時も同様です。

お礼

こんにちは。
ご回答ありがとうございます。

留数の計算にローラン展開を用いることもあるのですね。勉強になりました。

c_n=2/(2+√3)^n-4/(2-√3)^nと求めることができました。

実はこの問題には続きがありまして、
Σ[-∞,∞]c_n*exp(inx)が元の関数f(x)に収束することを計算しなさい。
という問題があります。

残念ながら私の計算では元の関数に戻すことはできませんでした。
図々しいことは承知していますが、検算の結果も示していただくことはできませんでしょうか。

回答No.1

rnakamra

計算の確認をしていないので質問者の計算を正しいと信じてお答えします。

周回積分の経路は|z|=1を1周、ですので　|z|<1にある極とそこでの留数を求めればよい。
|z|<1には二つの極がある。
z=0:n位の極
z=2-√3:1位の極

z=2-√3での留数は簡単に求められます。
z=0での留数を求めるには被積分関数をローラン展開するとよい。
とはいってもn次の極であることはわかっていますし、cos(nπ)は単なる係数ですの問題となるのは1/(z^2-4z+1)の部分。
この部分をz=0の周りでテーラー展開すればよいでしょう。そのうち次数がn-1次の項の係数を求めればよいのです。ちょっと面倒かな。

補足

こんばんは。
ご回答ありがとうございます。
新たに疑問点が出たのでご回答いただけると幸いです。
z=0での留数はどのようにc_nに反映させるのでしょうか。

以下、疑問に思った過程です。

早速留数の計算を行ってみたところ、
（f(z)=z^(-n)/(z^2-4z+1)とします。）

Res f(2-√3)=-(2-√3)^(-n)/2√3となった。

これを元にc_nを計算すると、
c_n=(-1)^(n-1)/{3^(1/2)(2-√3)^nとなった。

まだ計算してないがΣ_-∞^∞c_n*exp(inx)は収束はしそう。(元の関数に戻ってくれるかも)
⇒z=0での留数はいつ使うんだ？(そもそもz=0で分母≠0だから極でないのでは？)

以上です。よろしくお願いします。