スペクトルを求める問題の積分の計算方法

質問

フーリエ級数の勉強をしているのですが途中の計算方法がわかりません

f(x)=a|cosx|のスペクトルを求めるのに
（解）a|cosx|の周期はπだから
cn=(1/π)・∫(-π/2～π/2) {a(cos)exp(-2inx)}dx
=(a/2π)・∫(-π/2～π/2) {(exp(ix)+exp(-ix))exp(-2inx)}dx

ここから答えの(2a/π)・(-1)^(n+1)/(4・(n^2)-1)をだしたいのですが
expの式の状態の答えからうまく計算できません
計算方法を教えていただけたら助かります

ちなみに
*∫(-π/2～π/2){}dx　とは　{}内をｘで-π/2からπ/2まで積分することです
*a^xとはaのx乗を表すとします

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

(exp(ix)+exp(-ix))exp(-2nix)=exp(-(2n-1)ix)+exp(-(2n+1)ix)　と変形しておく。
exp(ax)の積分はaの部分が複素数でも形式的に同じ公式がつかえるので，
exp(-(2n-1)ix)　の不定積分は(-1/(2n-1)i)exp(-(2n-1)ix) 定積分を計算すると
(-1/(2n-1)i)(exp(-(2n-1)i(π/2))-exp((2n-1)i(π/2))
=(-1/(2n-1)i)(exp(-inπ)exp((π/2)i)-exp(inπ)exp(-(π/2)i)
=(-1/(2n-1)i)(exp(-inπ)i+exp(inπ)i)
=(-1/(2n-1))(exp(-inπ)+exp(inπ))
同様にexp(-(2n+1)ix)の部分の定積分は
(1/(2n+1))(exp(-inπ)+exp(inπ)　これらをたして
-((1/(2n-1))-(1/(2n+1)))(exp(-inπ)+exp(inπ))
=-((1/(2n-1)-(1/(2n+1))2cos(nπ)=-(4/(2n-1)(2n+1))(-1)^n
=(4/(2n-1)(2n+1))(-1)^(n+1)　これに積分記号の外に出ているa/2πをかけてください。
なおcos(nπ)はｎ偶数で１，奇数で－１です。念のため。
校正しようと思いましたが年なもので目がちらちらして限界です。方向は合っていると思いますのでご自身で計算してみて下さい。

お礼

わざわざ計算していただきありがとうございます。おかげさまで解を導くに至りました。exp(πi/2)=i　だったことを完全に忘れておりましてexp(-(2n-1)i(π/2)）という式で考え込んで、詰んでしまっていました。本当に助かりました。

回答No.1

ok_q_and_a

フーリエ変換でなくフーリエ級数の問題であれば
　これは、電気の全波整流に相当するので「全波整流」でしらべれば出てきますよ。

　|sinx|の場合が以下に載っており、　aは単なる係数なので後は、想像がつくと思います。

　http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/diffcomp/node34.html

　では。

お礼

解答ありがとうございました