積分の問題です。

質問

∫[0,∞]exp(-x^2cos2a)cos(x^2sin2a)dx ただし、0<a<π/4
の求め方を教えてください。

回答No.3

noname#199771 · ベストアンサー

#1の補足について。
ご指摘の通り、転記ミスです。失礼いたしました。

年のため差し替えたものを添付します。
-------------------------------------------------
図の赤い部分の経路をγとして
f(z)=e^(-(z^2)e^(-2ia))
とおくと、
fが正則だからコーシーの積分定理より
0=∫[γ]f(z)dz=I+J+K

ここで
I=∫[x=0～R]e^((-x^2)(e^(-2ia))dx
J=∫[θ=0～a]e^(-((Re^(iθ))^2)e^(-2ia))Rie^(iθ)dθ
K=∫[r=R～0]e^(-(re^(ia)^2)e^(-2ia))e^(ia)dr

I→∫f(x)dx
J→0(R→∞)
K→-((√π)/2)e^(ia)
です。
Jの評価は少し工夫が入りますので考えてみてください。

∫[0,∞]exp(-x^2cos2a)cos(x^2sin2a)dx
=ReI
に気づけば終了。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

noname#199771

#1の図です。

回答No.1

noname#199771

図の赤い部分の経路をγとして
f(z)=e^((z^2)e^(-2ia))
とおくと、
fが正則だからコーシーの積分定理より
0=∫[γ]f(z)dz=I+J+K

ここで
I=∫[x=0～R]e^((-x^2)(e^(-2ia))dx
J=∫[θ=0～a]e^(((Re^(iθ))^2)e^(-2ia))Rie^(iθ)dθ
K=∫[r=R～0]e^(-(re^(ia)^2)e^(-2ia))e^(ia)dr

I→∫f(x)dx
J→0(R→∞)
K→-((√π)/2)e^(ia)
です。
Jの評価は少し工夫が入りますので考えてみてください。

∫[0,∞]exp(-x^2cos2a)cos(x^2sin2a)dx
=ReI
に気づけば終了。

途中の計算と最後の結果を省略したのでご自分でやってみて、
わからなくなったらやってみたところまで補足に書いてください。
あなたはベテランだから結構できるはず。

補足

回答ありがとうございました。質問があります。
f(z)=e^((-z^2)e^(-2ia))
J=∫[θ=0～a]e^(-(Re^(iθ)^2)e^(-2ia))Rie^(iθ)dθ
ではないのですか。