数学3 積分

質問

積分の問題で
1. ∫cos(1-x)dx
2.∫e^(ax) sin bx dx (ただし、a^2＋b^2≠0)
が分からないので教えて下さると助かります。お願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

1. ∫cos(1-x)dx
= ∫cos(x-1)dx
=sin(x-1)+C
(Cは任意定数)

2.I=∫e^(ax) sin bx dx
a^2＋b^2≠0より a,bは同時にゼロにはならない。
3つの場合に場合分けできる。

1) a=0,b≠0
I=∫sin(bx) dx =-(1/b)cos(bx) +C (Cは任意定数)

2) b=0, a≠0
I=0

3) a≠0, b≠0
I=∫e^(ax) sin(bx) dx
=(1/a)e^(ax) sin(bx)-(1/a)∫e^(ax) b cos(bx) dx
=(1/a)e^(ax) sin(bx)-(b/a)∫e^(ax) cos(bx) dx
=(1/a)e^(ax) sin(bx)-(b/a){(1/a)e^(ax) cos(bx) -(1/a)∫e^(ax) (-b)sin(bx) dx}
=(1/a)e^(ax) sin(bx)-(b/a)(1/a)e^(ax) cos(bx) +(b/a)(1/a)∫e^(ax) (-b)sin(bx) dx
=(1/a)e^(ax) sin(bx)-(b/a^2)e^(ax) cos(bx) -(b^2/a^2) I
(1+b^2/a^2) I=(1/a)e^(ax) sin(bx)-(b/a^2)e^(ax) cos(bx)+C'
(a^2+b^2) I=e^(ax) {a sin(bx)-b cos(bx)}+a^2 C'
I=e^(ax) {a sin(bx)-b cos(bx)}/(a^2+b^2) +C ... (答)
(C, C'は任意定数))

お礼

ありがとうございました