積分に関してです。

質問

次の問題を解いてくれませんか。

(１)積分範囲（0→1）で∫e^x/(1-e^2x)^1/2 dxの定積分。
途中計算も大まかにお願いします。

(２)t=tanθとおく。sinθcosθをtで表せ。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
e^x=uとおくと　e^x dx=du
∫e^x/(1-e^(2x))^1/2 dx=∫1/√(1-u^2) du=sin^-1 (u)+C
=sin^-1(e^x) +C

(2)
sin^2(θ)+cos^2(θ)=1

sin^2(θ)で割って
1+1/tan^2(θ)=1+1/t^2=1/sin^2(θ)
sin^2(θ)=1/(1+1/t^2)=t^2/(1+t^2)
∴sinθ=±t/√(1+t^2)
符号は t=tanθ のθの範囲とtの符号から決める。

同様にcos^2(θ)で割って
tan^2(θ)+1=t^2+1=1/cos^2(θ)
cos^2(θ)=1/(t^2+1)
∴cosθ=±1/√(1+t^2)
符号は t=tanθ のθの範囲とtの符号から決める。

回答No.4

info22_

#2です。

A#2の補足です。
(1)の不定積分はした通りです。
>(1)
∫e^x/(1-e^(2x))^(1/2) dx=sin^-1(e^x) +C　…(☆)
しかし、被積分関数分母
(1-e^(2x))^(1/2)=√(1-e^(2x))
の実数条件から
1-e^(2x)＞0 (分母なので=0は定義域に含めない)
e^(2x)＜1=e^0
2x＜0
∴ x＜0
したがって積分範囲（積分の下限と上限）は被積分関数の定義域内（x＜0）に含まれていないといけません。
質問の積分の積分範囲は、定義域外に設定されています。なので実数関数の範囲では被積分関数が定義されませんので積分は不可能です。
（被積分関数を複素関数まで拡張すれば積分は可能ですが積分結果も実数ではなくなります。）

積分範囲が定義域内に含まれている場合の例
[-1,0)（広義積分）や[-3,-1]のような場合は
（☆）の不定積分から
∫[-1,0]e^x/(1-e^(2x))^(1/2) dx=sin^-1(1)-sin^-1(1/e)=π/2-sin^-1(1/e)≒1.194…
∫[-3,-1]e^x/(1-e^(2x))^(1/2) dx=sin^-1(1/e)-sin^-1(1/e^3)≒0.3269…
と積分ができます。

回答No.3

kaju_kaju

しかし、はじめの問題において、積分範囲が0->1だと、値が実数にならなかったので、不定積分の問題として解答しています。申し訳ありません。

回答No.1

alice_44

(1)
大まかに言って、y = e^x で置換積分。
値が虚数になることを理解した上で、
sin の定義を確認すればよい。

(2)
その式を (cosθ)^2 + (sinθ)^2 で割ってみる。
(cosθ)^2 で約分すると…