• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

置換積分法での解き方

問題集を解いていますが、5つ分からない問題がありました。 置換積分法で求めた時の途中式~答えまでの流れを教えてください。 お手数ですが、宜しくお願いします。 (1)∫(0→1) (x + 2 / x + 1) dx       (t =x+1といた場合) (2)∫(1→e) {(log x)^2 / x } dx (t =log xといた場合) (3)∫(0→1) e^x { e^(x) + 1 } ^2 dx (t =e^(x) + 1といた場合) (4)∫(0→π/2)  cos^(3) (x) ・sin x dx (t =cos x といた場合) (5)∫(0→π/2)  cos x / {sin^(2)(x) + 1 } dx (t = sin x といた場合) 答え (1)1+ log2 (2)1/3 (3)1/3(e^3 + 3e^2 + 3e - 7) (4)1/4 (5)π/4

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数1
  • 閲覧数68
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

(1)I=∫(0→1)((x+2)/(x+1) dx (t =x+1といた場合) dx=dtより I=∫(1→2)(t+1)/t dt=∫(1→2)(1+(1/t)) dt =[t+log|t|](1→2)=2+log(2)-(1+0)=1+log(2) (2)I=∫(1→e){(log(x))^2}/x dx (t =log(x)とおいた場合) dt=dx/xより I=∫(0→1)t^2 dt=[(1/3)t^3] (0→1)=1/3 (3)I=∫(0→1)(e^x){e^(x)+1}^2 dx (t =(e^x)+1とおいた場合) dt=(e^x)dxより I=∫(2→e+1)t^2 dt =[(1/3)t^3](2→e+1) =(1/3){(e+1)^3 -8} =(1/3)(e^3 +3e^2 +3e-7) (4)I=∫(0→π/2) cos^(3)(x)・sin(x)dx (t =cos(x) とおいた場合) dt=-sin(x)dxより I=∫(1→0) (t^3)(-dt) =∫(0→1) t^3 dt =[(1/4)t^4](0→1) =1/4 (5)I=∫(0→π/2)cos(x)/{sin^2(x)+1} dx (t = sin(x) といた場合) dt=cos(x)dxより I=∫(0→1) 1/(t^2+1) dt =[tan^(-1)(t)](0→1) =tan^(-1)(1)-tan^(-1)(0) =π/4 -0 =π/4

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。とても勉強になります。 基礎的な部分が足りないと痛感します。今やっている問題集と並行して、基礎的な部分も強化しなければならないと思いました。 ~ 前回 に引き続き感謝いたします。

関連するQ&A

  • 置き換え積分法での解き方。

    問題集で置き換え積分法で6問 分からない問題がありました。 途中式も含めて、教えてください宜しくお願いします。 (1)∫3x (x + 3)^(3) dx (2)∫x √(1-x) dx (3)∫sin^(4)(x)・ cos(x) dx (4)∫xe^{x^(2)} dx (5)∫xcos{x^(2)+1 } dx (6)∫1 / x(1 + logx ) dx 答え (1)(3/10)(x+2)^(4) (2x-1) + C (2)(-2/15)(3x+2)(1-x) √(1-x) + C (3)(1/5)sin^(5) (x) + C (4)(1/2)e^{x^(2)} + C (5)(1/2)sin{x^(2)+1} + C (6)log | 1 + logx | + C

  • 部分積分法で定積分を求めたいのですが~

    問題集を解いていますが、3つ分からない問題がありました。 部分積分法で求めた時の途中式~答えまでの流れを教えてください。 お手数ですが、宜しくお願いします。 (1) ∫(0→π/2) x cos2x dx (2) ∫(0→π/4) x^(2) sin2x dx (3) ∫(0→2π) e^(x) cos x dx 答え (1) -1/2 (2) π/8 - 1/4 (3) { e^(2π)-1 } / 2

  • 数学III 積分法

    数学III - 積分法の範囲の問題です。 以下の問題が解けず、困っております。 どうかアドバイスよろしくお願いします。 特に(2)がわかりません。 (問題) xy平面において、曲線y=sinx上の点(a, sin a)(0 < a < π/2)と原点とを通る直線をy=mxとする。 (1)定積分 S= ∫0~π/2 |sin x - mx|dxをaの関数として表せ。 (2)Sを最小にするようなaの値を求めよ。 (1)について、 ∫0~a (sin x - mx)dx + ∫a~π/2 (mx - sin x)dxとおき、これを求めると、(-ma^2) - (2cos a) + 1 + m/8*π^2となりますので、 f(a) = (-ma^2) - (2cos a) + 1 + m/8*π^2とおいて、 (2)を解くと、 f'(a) = -2ma + 2sin a f'(a) = 0とすると、 ma = sin aとなり、a=0が最小かと思われたのですが、題意よりaの値は0を含まないので間違いになります。 (1)の解がすでに誤りなのか、それとも(2)において、a=0の他に解が出るのか、どのようにすれば、Sを最小とするようなaの値がでるのかわかりません。 質問が長くなってしまい申し訳ありませんが、適当な解答よろしくお願いします。

  • 【定積分】全9問解き方教えて下さい※1問のみでも可

    定積分の問題が解き方がわかりません。 教科書には答えだけがのっており、 数学が苦手な私は全然解き方が思いつきません。 【∫↑ &#65374; ∫↓】…定積分の範囲 (1) 【2π&#65374;0】 ∫cos^2x sin^2x dx 答え π/4 (2)【π/2&#65374;0】 ∫sin^4x dx              答え 3π/16 (3)【π&#65374;0】  ∫x^2 sin^2 dx            答え π(2π^2 -3)/12 (4)【π&#65374;0】  ∫√(1+cosx) dx           答え 2√2 (5)【2&#65374;0】   ∫x^2√(2x-x^2) dx         答え 5π/8 (6)【π/2&#65374;0】 ∫1/(4+5sinx) dx           答え log2/3 (7)【π/4&#65374;0】 ∫1/(1+2sin^2x) dx          答え π/3√3 (8)【2&#65374;1】   ∫1/√(x^2 -1) dx          答え log(2+√3) (9)【2&#65374;0】   ∫1/√(x(2-x)) dx           答え π 答えは解くときの参考にしてもらえたらと思います。 全部は解けないけど何問かはわかる、という方も 解答をお願いします。 初めての質問で至らない点もあるかと思いますが よろしくお願いします。

  • log や Tan^-1 などの部分積分について

    問題集を解いていますが、部分積分法で求めた時の途中式&#65374;答えまでの流れを教えてください。 お手数ですが、宜しくお願いします。どうやら逆関数や対数がでてくると、さらに苦手で、答えと一致しないので苦戦しております。 (1) ∫(1/e → e) log x dx (2) ∫( e → e^2 ) (log x) ^2 dx (3) ∫( 0 → 1/2 ) Sin^(-1) (x) dx (4) ∫( 0 → 1 ) Tan^(-1) (x) dx 答え (1) 2/e (2) 2e^(2) - e (3) (π/12 ) + (√3 / 2) - 1 (4) (π/4 ) - 1/2 log2

  • この積分の問題教えてください

    この問題の答えが無いので教えてください。 自分なりに解いたのですが、合ってるでしょうか? ∫[0,π/2] 1 / sinx+cosx dx tan(x/2)=t とおくと、 dx=2/(1+t^2) dt cosx=(1-t^2)/(1+t^2) sinx=2t/(1+t^2) となる。 置換した後の積分範囲は、 x|0→π/2 t|0→ 1 ∫[0,π/2] 1 / sinx+cosx dx = -2∫[0,1] 1 / t^2-2t-1 dx   分母を平方完成して = -2∫[0,1] 1 / (t-1)^2-2 dx  公式:∫[1 / x^2-a^2] = 1/2a log|x-a/x+a|なので =1/√2 log|(-√2-1) / (√2-1)| logの中が汚いかんじで合ってるか不安です。 教えてください。

  • 積分 1/sin^3x 問題

    積分 1/sin^3x 問題 ∫{1/(sin x)^3}dxについて 調べた結果、sinx=cos(x-π/2)として、θ=x-π/2と置換する。 ∫{1/(cos(x-π/2))^3}dx (x-π/2)=θとおくと、dθ/dx=1よりdθ=dx ∫{1/(cosθ)^3}dθとなります。 あとは、1/cos^3xの積分と同じで、 1/2(sinθ/cos^2θ)+1/4log(1+sinθ/1-sinθ)+C のθをx-π/2に戻すと、 1/2(sin(x-π/2)/cos^2(x-π/2))+1/4log(1+sin(x-π/2)/1-sin(x-π/2))+C で答えは合っているのでしょうか? cos^2(x-π/2)=sin^2xとしなければいけないのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

  • 積分法の証明

    ∫tanhxdx=log(coshx)+c を証明したいのですが、置換積分を使えばいいのでしょうか?出だしにつまずいています。お願いします。 また、これは雑談ですが∫cot^2xdxはいくつなのですか?値を知りたいのですが、どうも導き出せないのです。 cot^2=cos^2/sin^2=(1-sin^2)/sin^2 で止まってしまって・・・(;・∀・) できれば、こちらの方もお願いします(m_m)

  • 積分問題

    A=∫[0→π/2](sin^3x)/(sinx+cosx)dx B=∫[0→π/2](cos^3x)/(sinx+cosx)dx (1)A+Bを計算せよ。 (2)AとBが等しいことを示せ。 (3)Aの値を求めよ。 (1)A+B=∫[0→π/2]{(sin^3x)+(cos^3x)}/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2](1+sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2][{1/(sinx+cosx)}+1]dx =∫[0→π/2][{1/√2sin(x+π/4)}+1]dx =[0→π/2][1/{√2log tan(x/2-π/8)}+1]dx =1/{√2log tan(π/8)} + π/2 - 1/{√2log tan(-π/8)} =(2/√2)log tan(π/8) + π/2 になったのですがこのような方法でよろしいのでしょうか? (2)に関しては、どのようにして行ってよいのかわかりません。 (3)もどうようにわかりません。 教えて頂けないでしょうか? よろしくお願い致します。

  • 積分の証明

    ∫{1/√(x^2+A)}dx = log|x+√(x^2+A)| の証明をしようとしています。 x=tanθと置いて、置換積分をすると、 ∫secθ dθ となりました。 ∫{cosθ/(1-(sinθ)^2)}dθ と変形して、t=sinθと置いて、置換積分をしたら、 1/2*log{(t+1)/(t-1)} になりました。 しかし、変数をtからxにできないで困っています。 どうか、アドバイスをお願いします。