置換積分法での解き方

質問

問題集を解いていますが、5つ分からない問題がありました。
置換積分法で求めた時の途中式～答えまでの流れを教えてください。
お手数ですが、宜しくお願いします。

(1)∫(0→1)　(x + 2 / x + 1) dx　　　　　　　(t =x+1といた場合)

(2)∫(1→e)　{(log x)^2 / x } dx (t =log xといた場合)

(3)∫(0→1)　e^x { e^(x) + 1 } ^2 dx (t =e^(x) + 1といた場合)

(4)∫(0→π/2)　　cos^(3) (x) ・sin x dx (t =cos x といた場合)

(5)∫(0→π/2)　　cos x / {sin^(2)(x) + 1 } dx (t = sin x といた場合)

答え
(1)1+ log2
(2)1/3
(3)1/3(e^3 + 3e^2 + 3e - 7)
(4)1/4
(5)π/4

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)I=∫(0→1)((x+2)/(x+1) dx
(t =x+1といた場合)
dx=dtより
I=∫(1→2)(t+1)/t dt=∫(1→2)(1+(1/t)) dt
=[t+log|t|](1→2)=2+log(2)-(1+0)=1+log(2)

(2)I=∫(1→e){(log(x))^2}/x dx
(t =log(x)とおいた場合)
dt=dx/xより
I=∫(0→1)t^2 dt=[(1/3)t^3] (0→1)=1/3

(3)I=∫(0→1)(e^x){e^(x)+1}^2 dx
(t =(e^x)+1とおいた場合)
dt=(e^x)dxより
I=∫(2→e+1)t^2 dt
=[(1/3)t^3](2→e+1)
=(1/3){(e+1)^3 -8}
=(1/3)(e^3 +3e^2 +3e-7)

(4)I=∫(0→π/2) cos^(3)(x)・sin(x)dx
(t =cos(x) とおいた場合)
dt=-sin(x)dxより
I=∫(1→0) (t^3)(-dt)
=∫(0→1) t^3 dt
=[(1/4)t^4](0→1)
=1/4

(5)I=∫(0→π/2)cos(x)/{sin^2(x)+1} dx
(t = sin(x) といた場合)
dt=cos(x)dxより
I=∫(0→1) 1/(t^2+1) dt
=[tan^(-1)(t)](0→1)
=tan^(-1)(1)-tan^(-1)(0)
=π/4 -0
=π/4

お礼

ありがとうございます。とても勉強になります。
基礎的な部分が足りないと痛感します。今やっている問題集と並行して、基礎的な部分も強化しなければならないと思いました。　～　前回　に引き続き感謝いたします。