球面上の積分

質問

球面上の積分

単位球Ｓ上で、以下の関数を積分することを考えております。

ｆ =1/(a-bx)

つまり、
∫∫∫1/(a-bx)dxdydz

しかしながら、この積分の仕方が分かりません。
ヒントだけでもいいので、教えてください。

ちなみに、

x=cosφcosθ

と変形し、

∫∫sinθ/(a-bcosφcosθ)dφdθ

を

０≦φ≦２π、０≦θ≦π

で積分するところまで考えたのですが、この先の計算方法が分かりません（分子にはsinθしかなく、sinφがないので）。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足について

>積分領域は、単位球の正面全体です。
「表面全体」ではないですか？
それとも半球表面（球面の1/2)ですか？

>∫∫∫1/(a-bx)dxdydz
この積分は体積積分の式ですから、当てはまりません（使えません）。

>x=cosφcosθ
>と変形し、
球座標なので「x=cosφsinθ」(単位球表面ではr=1)と置かないと
>０≦φ≦２π、０≦θ≦π
この積分範囲ではだめです。

>∫∫sinθ/(a-bcosφcosθ)dφdθ
上のxに修正すれば
この積分の式は
I=∫∫sinθ/(a-bcosφsinθ)dφdθ
となって
a>b>0なら
=∫[0,π] sinθ{∫[0,2π] 1/(a-bcosφsinθ)dφ}dθ
=2π∫[0,π] sinθ/√(a^2-b^2*sin^2(θ))dθ
となります。

これを数値計算すれば
a=2,b=1の時I=πlog9≒6.90278
a=3,b=2の時I=πlog5≒5.0562
a=5,b=3の時I=(4π/3)log(2)≒2.90345
などとなります。

回答No.4

ninoue

相変わらず面積積分と体積積分とを間違えていたようです。
球面の(X軸の負方向となす角がθと(θ+dθ)で挟まれた部分について考えます。
この部分をX軸に直角な円盤として考えると、次のようになります。
　半径=rsinθ, 厚み=rsinθdθ
　F=∫[0,π] 2πr^2sin^2θdθ/(a-bcosθ);

この積分は簡単ではないようです。数値積分で求めれば良いと思われます。
なお、次のサイトでは微分、不定積分の式が求められるようですので調べて下さい。
http://www.wolframalpha.com/

回答No.3

ninoue

#2です。変数及び角度の取り方、積分の仕方など一部誤りもありましたので再検討しました。
(考え違いをしているかも知れませんが)
球面の(X軸の負方向となす角がθと(θ+dθ)の円錐で挟まれた部分)について考えます。
そうすると求める面積分は、次のように計算する事が出来るはずです。
　F=∫[0,π] 2πrsinθdθ/(a-bcosθ);
　 但し　a>b>0, r=1 と仮定
ここで次の通り変数変換します。
　t=cosθ, dt=-sinθdθ;
後は高校の数学の範囲で積分でき、結果には自然対数が含まれるはずでので、求めてみてください。
不明な点などがあれば、補足要求で質問してください。
出来れば結果をお知らせ下さい。

回答No.2

ninoue

問題は直径r=1の球表面についての積分ですが、fがxのみの関数となっているので一変数関数の積分として求める事が出来るようです。a>b>0を仮定

f = 1/(a-bsinθ)、ds=2πr*sinθdθ,　これをθ=0-πの区間に渡って積分します。
F = ∫[0 - π] 2πsinθdθ/(a-bsinθ)

このタイプの積分については次の本に纏めてあったようなので、直接a,bから求められるかもしれません。
簡約積分表 [単行本] ブレイン図書出版

しかし一般には数値積分で簡単に求められると思います。

回答No.1

info22_

積分する積分領域は単位球の球表面全体（全球面）ですか？それとも全球面でなく球面の一部領域ですか？

それを明確に書いて頂かないと積分領域が確定できませんので積分が出来ません。
まずそれをお書き下さい。

なお、お書きの変数変換法は球面座標に変換する方法（単位球面の表面での積分なのでr=1）です。）

補足

説明が足りず申し訳ありませんでした。

積分領域は、単位球の正面全体です。