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「解析学序論」の積分についての問題。

解析学序論の積分の問題で、 「∫(0からπ/2) dx/{a^(2)*cos^(2)x+b^(2)*sin^(2)x} = π/2ab (a,b>0)を示せ。」 という問題がわかりません。高校までの積分の知識で1/xを積分するとlog|x|+cになる等、様々な方法で左辺を変形したのですが、どうしても右辺に辿り着きません。「a^(2)*cos^(2)x+b^(2)*sin^(2)x」を読むと、「a自乗コサイン自乗x たす b自乗サイン自乗x」になります。 どなたか解き方、又は似たような回答付きの例題を教えて下さい。

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noname#50894
noname#50894
回答No.2

t=tan(x)とおくと、 dt/dx=1/(1+t^2)、cos(2x)=(1-t^2)/(1+t^2)、sin(2x)=2t/(1+t^2) この置換積分で、比較的簡潔になります。 値を求めるにはもう一工夫。 t=(a/b)tan(θ)と置いた方が良いでしょう。 0≦x≦π/2に応じて、t,θの動き得る範囲は十分に注意して下さい。

comilea
質問者

お礼

御丁寧な回答をありがとうございました。試してみます。

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その他の回答 (1)

noname#69788
noname#69788
回答No.1

三角関数の合成をつかったらどうですか。

comilea
質問者

お礼

回答ありがとうございました。「三角関数の合成」について調べてみます。

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このQ&Aのポイント
  • ZERO ウイルスセキュリティをお使いの方からエントリーができないというお困りごとの質問があります。
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