多次式

質問

f(x)は5次の整式でx^5の係数は1である
f(x)がf(x^4)-7=(f(x)-7)^4をみたすならばf(x)はx^5+□x^4+□x^3+□x^2+□x+□である

別の質問で、f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+eと置いたときa=c=0,e=7、つまりf(x)=x^5+bx^3+dx+7まで分かったのですがここから分かりません 教えてください
なお、補足質問をするかもしれません

回答No.1

151A48 · ベストアンサー

x^20 +ax^16 +bx^12+cx^8 +dx^4 +e-7
=(x^5 +ax^4 *bx^3 +cx^2 +dx +e-7)^4
両辺の定数項を比べてe-7=(e-7)^4. これよりe=7
e-7=0にして両辺をx^4で割って
x^16 +ax^12 +bx^8 +cx^4 +d
=(x^4 +ax^3 *bx^2 +cx +d)^4
両辺の定数項を比べてd=d^4. これよりd=1
この両辺にx=1を代入して
1+a+b+c+1=(1+a+b+c+1)^4
よってa+b+c+2=0・・・・(1)
両辺にx=-1を代入して
1+a+b+c+1=(1-a+b-c+1)^4
(1)より左辺＝０なので，-a+b-c+2=0・・・・(2)
(1)+(2)より2b+4=0.よって b=-2
(1)-(2)よりa+c=0・・・・(3)
また，x^16 +ax^12 +bx^8 +cx^4 +1=(x^4+ax^3 *bx^2+cx*1)^4
を展開したとき，右辺のxの１次の項は(cx+1)^4より出て4cxなのでc=0
これと(3)よりa=0

補足

x^20 +ax^16 +bx^12+cx^8 +dx^4 +e-7
=(x^5 +ax^4 *bx^3 +cx^2 +dx +e-7)^4
の両辺をx^4で割ると
x^16 +ax^12 +bx^8 +cx^4 +d
=(x^4 +ax^3 *bx^2 +cx +d)^4
という部分、左辺はわかるのですが右辺が分かりません どうしてこうなるか教えてください

回答No.3

151A48

♯１
(x^5 +ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx)^4
={ x(x^4 +ax^3 +bx^2 +cx +d)}^4
=x^4・ (x^4 +ax^3 +bx^2 +cx +d)^4

補足

ありがとうございます よく分かりました
連続ですみませんが、
＞両辺の定数項を比べてd=d^4. これよりd=1
このとき、d=0やd=-1の場合もあり得ませんか？なぜ1だけ取り上げたのでしょうか？出来ればお答えください

回答No.2

asuncion

＞x^20 +ax^16 +bx^12+cx^8 +dx^4 +e-7
＞=(x^5 +ax^4 *bx^3 +cx^2 +dx +e-7)^4
＞の両辺をx^4で割ると
＞x^16 +ax^12 +bx^8 +cx^4 +d
＞=(x^4 +ax^3 *bx^2 +cx +d)^4

おそらく、こういうことではないか、と勝手に思っています。
{(x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx)^4}/(x^4)
={(x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx)/x}^4
=(x^4+ax^3+bx^2+cx+d)^4

お礼

その方法もありますね ありがとうございました