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二次関数の分数の積分について
info22_の回答
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No.3,No.5です。 ANo.5の補足の質問の回答 >ところで話は変わって2次式分の1をマクローリン展開すると以下の計算で合ってますか? f(x)=1/(ax^2+bx+c)=1/c+(1/b)x+(1/a)x^2+x^3+x^4+x^5... 収束範囲(|x|<1) 合っていませんね。うろ覚えでなく復習のつもりでマクローリン展開してみたら如何? 分母が2次式ということなので a≠0ですね。「1/a」を括りだしておき、p=b/a,q=c/aとおくと f(x)=(1/a)/(x^2+px+q) と変形できますから g(x)=1/(x^2+px+q)のマクローリン展開して各項に1/aを掛ければf(x)のマクローリン展開が得られます。 そこでg(x)のマクローリン展開をすると g(x)=(1/q)-(p/q^2)x-((q-p^2)/q^3)x^2+((2q-p^2)p/q^4)x^3 +((q^2-3p^2q+p^4)/q^5)x^4-((3q^2-4p^2q+p^4)p/q^6)x^5 + ... (|x|<<1) となります。 展開した時の係数は簡単な式ではないですね。 >ぼんやりとした記憶では情報系の大学ではマクローリン展開した式を積分するのが一般的なのかと思ってましたが、収束範囲が(|x|<1)では全く使い物になりませんね…? 被積分関数が、解析的に積分不可能な場合で かつ収束することがわかっている場合には マクローリン展開してから数値積分することもあるでしょうね。 被積分関数の不定積分を求めることが可能な場合には、マクローリン展開する必要がありません。マクローリン展開の級数ぼ収束性が悪い場合は、マクローリン展開して数値積分する方法もあまり有効ではありません。
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