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分数関数の積分
積分後の文字の範囲がわからないので質問します。 ∫1/(x^2-a^2)dx=1/(2a)∫{1/(x-a)-1/(x+a)}dx= 1/(2a){log|x-a|-log|x+a|}+C(Cは積分定数)= 1/(2a)log|(x-a)/(x+a)|+C (a>0)と書かれていて、最後のa>0記述がわかりません。インターネットで調べたころa≠0の時上記のような答え。a=0の時は∫x^(-2)dxを計算していました。a=0のとき1/2aの分母を0にしまうのでa≠0はわかるのですが、a>0かa≠0どちらが正しいかどなたか教えてくださいお願いします。
- situmonn9876
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∫1/(x^2-a^2)dx =1/(2a)∫{1/(x-a)-1/(x+a)}dx ここまで計算した後に 「a=0のとき1/2aの分母を0にしまう……」 と気づくことが一つのカギです。つまりa≠0の場合ならこの計算を続ければよい。そしてa=0の場合は，元の式に戻って計算をしましょう。 そして次のように場合分けで答えることになるでしょう。 （１）a≠0のとき ∫1/(x^2-a^2)dx =1/(2a)∫{1/(x-a)-1/(x+a)}dx =1/(2a){log|x-a|-log|x+a|}+C(Cは積分定数) （２）a=0のとき ∫1/(x^2-a^2)dx =∫1/(x^2)dx =∫x^(-2)dx =-1x^(-1)+C =-1/x+C (Cは積分定数) となるのですが……。 ※ a>0が気になります。元の問題には「a≧0」のような条件があったのですか？
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お礼
お返事ありがとうございます。本が間違っていると考えることにします。
補足
問題の最初に条件として、a>0の範囲で考えるとは書いてないようで、答えの後に(a>0)と書かれていました。