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積分の問題について

積分について質問です。 ∫(x^2)/(x^2+a^2)^2 dx この積分の解答過程を教えてください。 aは0でない定数です。 分母が全体が2乗されてます。 答えは (1/2)*{-x/(x^2+a^2)+(1/a)*arctan(x/a)} arctanはアークタンジェントです。 解答よろしくお願いいたします。

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∫(x^2)/(x^2+a^2)^2 dx =∫(x^2+a^2)/(x^2+a^2)^2 + (-a^2)/(x^2+a^2)^2 dx  分子にa^2を足して、分母と同じ形にしました。あとでその分引いて戻します。 =(1/2)∫(x^2+a^2)/(x^2+a^2)^2 + (x^2-a^2)/(x^2+a^2)^2 dx 2つ目のはこうしてやるとうまく積分できますね。 =(1/2){∫1/(x^2+a^2) dx -x/(x^2+a^2)} あとは1つ目の項の分母分子をa^2で割ります。 =(1/2){(1/a^2)∫1/((x/a)^2 + 1) dx -x/(x^2+a^2)} ここでx/a = t と、おくまでも無いけど。arctanの典型的な形になりました。 =(1/2){(1/a^2)*a*arctan(x/a) -x/(x^2+a^2)} =(1/2){(1/a)arctan(x/a) -x/(x^2+a^2)} 以上です

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質問者からの補足

早速の解答ありがとうございます! ・2行目の式から3行目の式になったのと、 ・3行目2つ目の項が4行目の2つ目の項になったのが 理解できないのですが、教えていただいてもよろしいでしょうか? よろしくお願いいたします。

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  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

・部分分数にばらしてから置換積分 ・部分積分 お好きな方をどうぞ.

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