積分の問題について

質問

積分について質問です。

∫(x^2)/(x^2+a^2)^2 dx

この積分の解答過程を教えてください。
aは0でない定数です。
分母が全体が2乗されてます。
答えは

(1/2)*{-x/(x^2+a^2)+(1/a)*arctan(x/a)}

arctanはアークタンジェントです。
解答よろしくお願いいたします。

回答No.2

s1013129 · ベストアンサー

∫(x^2)/(x^2+a^2)^2 dx
=∫(x^2+a^2)/(x^2+a^2)^2 + (-a^2)/(x^2+a^2)^2 dx 　分子にa＾2を足して、分母と同じ形にしました。あとでその分引いて戻します。
=(1/2)∫(x^2+a^2)/(x^2+a^2)^2 + (x^2-a^2)/(x^2+a^2)^2 dx　2つ目のはこうしてやるとうまく積分できますね。
=(1/2){∫1/(x^2+a^2) dx -x/(x^2+a^2)}　あとは1つ目の項の分母分子をa^2で割ります。
=(1/2){(1/a^2)∫1/((x/a)^2 + 1) dx -x/(x^2+a^2)}　ここでx/a = t　と、おくまでも無いけど。arctanの典型的な形になりました。
=(1/2){(1/a^2）*a*arctan(x/a) -x/(x^2+a^2)}
=(1/2){(1/a）arctan(x/a) -x/(x^2+a^2)}

以上です

補足

早速の解答ありがとうございます！

・2行目の式から3行目の式になったのと、
・3行目2つ目の項が4行目の2つ目の項になったのが
理解できないのですが、教えていただいてもよろしいでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.1

Tacosan

・部分分数にばらしてから置換積分
・部分積分
お好きな方をどうぞ.